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高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品同步训练题
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3.2双曲线同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为
A. B. C. D.
- 设O为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于D，E两点．若的面积为8，则C的焦距的最小值为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
- 点到双曲线的一条渐近线的距离为
A. B. C. D.
- 已知双曲线的离心率为，则
A. B. C. 2 D. 3
- 如图，，是双曲线的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
- 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
- 已知双曲线的左右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
- 已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，则双曲线的离心率为
A. 2 B. C. D.
- 已知点，，，设点P满足，且P为函数图象上的点，则
A. B. C. D.
- 双曲线的焦点坐标是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 设双曲线E：的右顶点为A，右焦点为为双曲线E在第二象限上的点，直线BO交双曲线E于另一个点为坐标原点，若直线BA平分线段FC，则双曲线E的离心率为
A. B. C. D.
- 已知双曲线的两个焦点为，，P为双曲线右支上一点．若，则的面积为
A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
- 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为
- 已知双曲线C的中心在原点，是一个焦点，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为，则C的方程是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的离心率为 ；若点在双曲线C上，则
- 已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
- 已知双曲线C：，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且经过点
Ⅰ求双曲线C的方程；
Ⅱ求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
- 已知双曲线C的焦点坐标为，实轴长为4，
求双曲线C标准方程；
若双曲线C上存在一点P使得，求的面积．
- 已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点．
求双曲线的标准方程；
若点M在双曲线上，、为左、右焦点，且，试判断的形状．
- 已知P是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心G的轨迹方程．
- 设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切．
求C的圆心轨迹L的方程；
已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题．
设出，，由双曲线的定义可得，再通过，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】
解：，为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，，
设，，由双曲线的定义可得，即，
所以，，因为，，
所以，整理得，
所以．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出，再根据基本不等式即可求解．
【解答】
解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，
分别将，代入可得，
即，，
则，
，当且仅当时取等号，
的焦距的最小值为，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点到一条渐近线的距离即可．
【解答】
解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离，
则点到双曲线一条渐近线的距离．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
根据双曲线的离心率为，可得，即可求解．
【解答】
解：由双曲线方程可知
又离心率为，
可得 ，
所以，
故选A．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设，运用锐角三角函数的定义可得，，，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式和三角函数的辅助角公式，即可得到离心率．
【解答】
解：在中，，，
A、B为双曲线上关于原点对称的两点，所以，所以是直角三角形，
设，可得，，
连接，，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，可得四边形为矩形，
1，
，
，
，
，
，
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，属于中档题．
画出图形，利用已知条件，求出b的值，再通过双曲线离心率以及求解a，即可得到双曲线方程．
【解答】
解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，
其方程为，即，，
，，作交CD于点E，显然ACDB是直角梯形，
又F是AB的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义
根据双曲线的对称性，不妨设点P的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，根据，结合基本不等式即可求得点P的坐标，代入双曲线方程可求得，从而可得双曲线的渐近线方程
【解答】
解：根据双曲线的对称性，不妨设点P的坐标为，
由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，
也等价于取得最大值，
，，
，
当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，
此时的外接圆面积取最小值，
点P的坐标为，代入，
可得，即，即．
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选C．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的性质，两条直线平行的位置关系，属于基础题．
根据渐近线和直线平行的关系得到双曲线的渐近线方程是解决本题的关键．根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到a，b的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可．
【解答】
解：双曲线
由题知，，
负值舍去，
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆锥曲线的综合应用，曲线的交点坐标以及两点间距离公式的应用，是中档题．
求出P满足的轨迹方程，与联立求出P的坐标，即可求解．
【解答】
解：点，，．
点P满足，
所以点P的轨迹为双曲线的右半支，
设双曲线方程为，
其中，
即点P是双曲线的右支上的点，
又P为函数图象上的点，
即，
则，
联立两个方程，解得，
所以．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且，，
由此可得，
该双曲线的焦点坐标为，．
故选：B．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的几何性质，求解双曲线的离心率，属于中档题．
设，，则，FC的中点，由三点共线，得，即，从而可得，进而可求出离心率
【解答】
解：设，，则，
所以FC的中点，，
则，
因为三点共线，
所以，
所以，即，
得，
所以离心率，
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形面积的计算，根据双曲线的性质，判断三角形为直角三角形是解决本题的关键，属于中档题．
根据双曲线的性质判断为直角三角形，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】
解：由条件可知，双曲线的焦距为，
由条件及双曲线的定义可得
解得
则，
所以为直角三角形，
故的面积为：．
故选：B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆、双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点．
根据题意，由椭圆的方程可得其焦点坐标，再由双曲线的几何性质可得，且，解可得n的值，即可得双曲线的方程，由双曲线的几何性质，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆的方程为与双曲线有相同的焦点，
且，即焦点坐标为，
若双曲线的焦点坐标为，
则有，且，
解得，
因此双曲线的标准方程为：，
所以该双曲线的渐近线方程为．
故答案为．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，是中档题．
由题意画出图形，结合已知可得，从而可得，进而求出离心率．
【解答】
解：如图，
，且，
，
又点A是的中点，点O是的中点，，
，
则，
则，
所以一条渐近线的斜率为，
所以，
故答案为：2．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，是中档题．
先利用点F，N的坐标求出直线AB的斜率，再利用点差法得到，结合求出a，b的值，从而得到双曲线C的方程．
【解答】
解：因为，，
所以直线AB的斜率，
设双曲线方程为，
则，
设，，
则，，，
由，，
得，
即，
．
于是，，
所以C的方程为．
故答案为．
16.【答案】
1
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率，以及垂直直线斜率的关系，属于基础题．
先根据两条直线互相垂直，斜率之积为，以及双曲线的渐近线方程得到的值，再利用双曲线离心率即可，由，得出，则双曲线方程为，代入点P的坐标，即可求出结果．
【解答】
解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以双曲线一条渐近线的斜率为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
双曲线的离心率，
因为，即，
所以双曲线方程为，
因为点在双曲线C上，
所以，解得，即．
故答案为；1．
17.【答案】
2
【解析】
【分析】
本题考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．
根据题意，可得正六边形的一个顶点，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可．
【解答】
解：椭圆M：，双曲线N：，
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
又椭圆的一个焦点为，可得正六边形的一个顶点，
可得：，可得，可得，，
解得．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为．
故答案为：；2．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和其性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题．
根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得答案．
【解答】
解：双曲线C：，则，则，则C的右焦点的坐标为，
其渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离，
故答案为：，．
19.【答案】解：Ⅰ双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
设双曲线C的方程为，
代入，解得，
故双曲线C的方程为：．
Ⅱ由方程得，，，故离心率．
其渐近线方程为；
焦点到渐近线的距离为：．
故双曲线C的实轴长为2，离心率为，焦点到渐近线的距离为．
【解析】本题考查双曲线的方程及简单性质，考查计算能力，是中档题．
Ⅰ由题意设双曲线C的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线C的方程．
Ⅱ利用双曲线C的方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
20.【答案】解：由条件，，，
双曲线方程为，
由双曲线定义，
，
，
的面积．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题．
由题意可得，，可得，即可求双曲线C标准方程，
根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出．
21.【答案】解：椭圆可化为，焦点坐标为，
设双曲线的方程为，
代入点，可得，
，
双曲线的标准方程为；
不妨设M在双曲线的右支上，则，
，
，，
，
由余弦定理可得，
是钝角三角形．
【解析】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
求出椭圆的焦点坐标，设双曲线的方程为，代入点，求出，可得双曲线的标准方程；
不妨设M在双曲线的右支上，则，利用，求出，，由余弦定理可得，即可得出结论．
22.【答案】解：设重心，点 ，
因为，
则有
故
代入，得，
又P与不共线，所以，
故所求轨迹方程为 ．
【解析】本题考查与双曲线有关的动点轨迹方程，属于基础题．
设重心，点 ，利用重心坐标公式，得到代入双曲线中，即可求出轨迹方程，注意去掉不符合题意的点．
23.【答案】解：两圆的半径都为2，两圆心为、，
由题意得：或，
，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，
因此，，则，
所以轨迹L的方程为；
过点M，F的直线l的方程为，
即，代入，解得：，，
故直线l与双曲线L的交点为，，
因此在线段MF外，在线段MF内，
故，
，若点P不在MF上，则，
综上所述，只在点处取得最大值2，此时点P的坐标为
【解析】此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．
根据圆与圆的位置关系，列出方程，得，结合双曲线的定义，进而可得结果；
得出过点M，F的直线l的方程，进而求得直线l与双曲线L的交点，进而求得结果．
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