数学选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀练习题

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀练习题，共21页。试卷主要包含了0分），求抛物线C的方程；，【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
 3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于两点，O为坐标原点，则的面积为  A.  B.  C.  D. 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为A.  B.  C.  D. 设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A. 5 B. 6 C. 7 D. 8设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A. 5 B. 6 C. 7 D. 8设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP设O为坐标原点，点P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为  A.  B.  C.  D. 1设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是  A.  B.  C.  D. 已知焦点为F的抛物线的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为    A. 或 B. 或
C. 或 D. 过抛物线的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若，且，则该抛物线的标准方程是A.  B.  C.  D. 给出下列说法：
方程表示一个圆；
若，则方程表示焦点在y轴上的椭圆；
已知点、，若，则动点P的轨迹是双曲线的右支；
以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．
其中正确说法的个数是  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是      A.  B.  C.  D. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则   A. 8 B. 11 C. 13 D. 16二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）如图所示，已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作于B，，则的面积为          ．


  若点P到直线的距离比它到点的距离小2，则点P的轨迹方程是          ．已知抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为          ．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）已知抛物线C：的焦点为F，准线l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则           ，直线PF的斜率           ．已知抛物线C：的焦点为F，直线与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则抛物线C的方程为          ，点P的坐标为          ．已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p等于          ，双曲线方程为          ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）如图，已知椭圆：，抛物线：，点A是椭圆与抛物线的交点．过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M不同于．
若，求抛物线的焦点坐标；
若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．







 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程；
 平面内一个动点P到点的距离比它到直线的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．






 已知抛物线C：，过的直线l与C交于M，N两点．当l垂直于x轴时，的面积为2．求抛物线C的方程；若在x轴上存在定点Q满足，试求Q的坐标．






 过抛物线C：上一定点作直线，斜率分别为，交抛物线C于A，B两点且求抛物线C的方程；         证明：直线AB过定点．






 已知抛物线的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，．求抛物线的方程；过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若的面积为4，求直线l的斜率其中O为坐标原点．







答案和解析1.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查抛物线中的面积问题，属于中档题．
由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由，得，，则，
过A，B的直线方程为，
即，
联立
得，，
设，，
则，，


．
故选：D．  2.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．
通过，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将代入抛物线，可得，，可得，
即，解得，
所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．
故选：B．  3.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线为：，
联立，消去x可得：，
解得  ，，不妨设，，
，，
则．
故选D．  4.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：的焦点为，
过点且斜率为的直线为：，
联立该直线与抛物线C：，消去x可得：，
解得，，不妨设，，
所以，．
则．
故选D．  5.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于基础题．
根据抛物线的定义和垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：根据抛物线的定义可得，故线段FQ的垂直平分线必过点P．
故选B．  6.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查抛物线的方程及性质，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减运算可得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得，设，
显然当，；当，．
要求的最大值，设，
则
，
可得，
当且仅当，取得等号．
故选C．
   7.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线，直线与圆相切问题，考查分析能力和计算能力．
由题意，分两种情况：直线AB的斜率不存在，有两条，直线AB的斜率存在，也有两条，根据M为线段AB的中点及A、B在抛物线上，，建立方程和不等式，求得r的范围．【解答】解：当直线AB的斜率不存在，且时，有两条满足题意的直线l．当直线AB的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，和时各有一条满足题意的直线l．设圆的圆心为C，，，，
则，． ， ，且，
．，即．另一方面，由AB的中点为M知，点B，A在抛物线上，
，，由，得 ，，
．，
．综上，，
故选D．  8.【答案】A
 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线的位置关系、点斜式方程、有关抛物线的最值问题，属于中档题．
过M作MP与准线垂直，垂足为P，根据抛物线的定义将转化为，，所以当最大时最大，直线AM与抛物线相切，由抛物线与直线相切列方程组求解即可．【解答】解：抛物线的准线为，则，
过M作MP与准线垂直，垂足为P，

，
则当取得最大值时，最大，此时AM与抛物线C相切，
易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为，，
则，消去x整理得，
则，
得直线MA的方程为或
故选：A．  9.【答案】C
 【解析】【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值，进而可得方程
本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．【解答】解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设，则，，，
在直角三角形ACE中，，，

，即，
，，，解得，
从而抛物线的方程为．
故选：C．
   10.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查曲线与方程，注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式，属于中档题．
根据题意，依次分析题目中的四个命题，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个说法：
对于，方程变形可得，不是圆的方程，错误；
对于，方程变形可得，
若，则有，
则方程表示焦点在y轴上的椭圆；正确；
对于，点、，
则，若，
则动点P的轨迹是一条射线；错误；
对于，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，正确；
则正确；
故选：B．  11.【答案】A
 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，轨迹方程，属于基础题．
根据题意，可得到焦点，设线段PF的中点E的坐标为，，即可得到，，代入抛物线即可解得答案．【解答】解：抛物线方程可化为，焦点，
设线段PF的中点E的坐标为，，
则，，
代入抛物线方程得，
即，
故答案选：A．  12.【答案】C
 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．【解答】解：由抛物线C：可知，，得到，，
设，，因为AB的中点的纵坐标为5，
所以，则．
故选C．  13.【答案】8
 【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，抛物线中的面积问题，属于中档题．
根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设，则，根据及，进而可求得A点坐标，进而求得的面积．【解答】解：抛物线C：的焦点为，准线为，
，
设，
于B，，，
由抛物线定义可得，，由，得，
即，解得，又A在x轴上方，
，
的面积为．故答案为8．  14.【答案】
 【解析】【分析】本题给出动点满足的条件，求该点的轨迹方程，着重考查了圆锥曲线的定义和轨迹方程的求法等知识，属于基础题．
根据题意，将条件转化为点P到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点P的轨迹方程．【解答】解：点P到直线的距离比它到点的距离小2，
点P到直线的距离与它到点的距离相等，
点P的轨迹是以为焦点、直线l：为准线的抛物线，
因此，设P的轨迹方程为，，
可得，解得，，
动点P的轨迹方程为．
故答案为．  15.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，属于难题．
当直线AB的斜率k存在时，显然，由题意设直线AB的方程以及A、B点的坐标，由直线与抛物线方程联立消去y整理得关于x的二次方程，利用根与系数的关系求出的表达式，利用基本不等式求出最小值即可； 当直线l的斜率不存在时，，则，进而可解．【解答】解：由题意知抛物线的焦点，准线方程为，
当直线AB的斜率k存在时，显然；
设直线AB的方程为，，，
由
消去y整理得：，
，
则，，
，
根据抛物线性质知，，，

，其中；
设，


，
当且仅当时取“”；
的最小值为，
当直线l的斜率不存在时，，
，
又，
的最小值为．
故答案为．  16.【答案】 
 【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设Q在准线上的射影为M，准线与x轴的交点为N，设，在中，运用三角形的相似可得，再在直角三角形PMQ中，求得，可得直线PF的斜率．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三角形的相似性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．【解答】解：抛物线C：的焦点，准线l：，
设Q在准线上的射影为M，准线与x轴的交点为N，

由，可设，则，，
由抛物线的定义可得，
在中，，即为，解得，即为，
在直角三角形PMQ中，可得，
即有，所以直线PF的斜率为，
根据对称性可知，直线PF的斜率也成立，
即有，
故答案为：；．  17.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查抛物线的定义和几何性质的应用，属一般题．
设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程与P的坐标．【解答】解：直线与C的交点为P，则设，代入由中得，
所以，，
由题设得，，解得．
所以C的方程为，．
故答案为； ．  18.【答案】4
 【解析】【分析】 本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可． 【解答】解：抛物线的焦点，可得，，
双曲线方程为：， 
它的渐近线方程为：，即：， 
直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：， 
，可得 
，解得或，
， 
所以双曲线方程为：．
故答案为；双曲线方程为：．  19.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
由题意可设直线l：，点，
将直线l的方程代入椭圆：得
，
为线段AB的中点，
点M的纵坐标，
将直线l的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
 【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标；
由题意可设直线l：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点M的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解．
 20.【答案】解：由于点  在第四象限，且坐标轴为对称轴，
所以设抛物线方程为  或 ，
将点 A 的坐标代入，分别得  或 ，
所以，所求的抛物线方程为  或    
易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧．
设直线 ，
则y轴右侧的点P到直线的距离比它到直线的距离小2个单位，
由题意，P到点的距离等于它到直线的距离，
根据抛物线的定义，知动点P的轨迹为抛物线，且焦点为，
所以动点P的轨迹方程为．
 【解析】本题主要考查抛物线的应用，属于中档题．
由于点  在第四象限，且坐标轴为对称轴，所以设抛物线方程为  或 ，化简即可求解；
易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧，设直线 ，P 到点  的距离等于它到直线  的距离，根据抛物线的定义，即可求解．
 21.【答案】解：由和抛物线方程联立，可得，
因为直线l垂直于x轴时，的面积为2，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
由题意可设直线l的方程为，，，，
联立抛物线的方程可得，
，，，
因为


，
由于Q为定点，
所以，所以，此时Q的坐标为．
 【解析】本题主要考查抛物线的标准方程，直线和抛物线的位置关系等基础知识，向量的数量积的坐标运算，考查运算能力、推理论证能力，考查方程思想，属于中档题．
将代入抛物线的方程，可得，再由的面积为，结合题意，解方程可得p，进而求得抛物线的方程；
由题意可设直线l的方程为，，，，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合定点和恒等式的性质，可得所求坐标．
 22.【答案】解：由题意，得
设直线AB的方程为
联立

，



直线AB方程为，恒过点．
 【解析】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线中的定点问题，属于中档题．
将P点坐标代入抛物线方程求出p，即可得抛物线方程；
设直线AB的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合，即可求证直线AB过定点．
 23.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线l的方程为，，，
直线l与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点O到直线l的距离，
，
解得，即．
 【解析】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式及点到直线的距离．
根据题意得出，即可求出结果；
设出直线方程，化为，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求出弦长和点到直线l的距离，利用的面积为4，得出方程即可求出结果．