2021-2022学年人教A版高三数学上学期第一阶段检测检测试题（含解析）

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答案解析部分一、单选题1.【答案】     C【解析】【解答】求解一元二次不等式可得： ， 又 ∴ .故答案为：C. 
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合B再由交集的定义即可得出答案。2.【答案】     A【解析】【解答】 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，则 ，即 的最小值为2.故答案为：A. 
【分析】由已知条件结合基本不等式整理化简即可求出最小值。3.【答案】     A【解析】【解答】设 ，则 ， 又 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，因为 ，所以 在 上单调递减，所以 ，故答案为：A 
【分析】根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可比较出结果。4.【答案】     A【解析】【解答】由题意，函数 是 上的奇函数，满足 因此函数 的周期 故答案为：A 【分析】根据题意由奇函数的定义结合周期的公式，整理化简即可求出函数的周期，然后由周期的定义代入数值计算出结果即可。5.【答案】     B【解析】【解答】由题意，构造函数 在 上单调递增又 又 的解集为 故答案为：B 【分析】根据题意由已知条件构造函数  ， 对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式的解集。6.【答案】     C【解析】【解答】   ， 值域为 ，画出函数图象，考虑一个周期内的情况，则可得 或 满足题意，所以 ，即 的最小值是 .故答案为：C. 
【分析】首项由两角和的正弦公式和二倍角的正、余弦公式整理化简函数的解析式，然后由正弦函数的图象和性质，利用数形结合法整理即可得出  ， 由此得出答案。7.【答案】     D【解析】【解答】解：设 ， ， 令 ，得 ，设 ，则 ，所以当 时， ；当 时， ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，于是 ；又当 时， ； 时， ，所以方程 最多仅有两个解，即最多两个极值点，又因为 在 上最多仅有一个极值点，所以 有两个极值点， 有一个极值点，当方程 有两个解时， ，即 ，当 在 有一个极值点时， ，即 ，所以 ，由 ， ， ，知当 ，方程 在 与 上各有一解，综上，若要使 在 上恰有三个极值点，则 .故答案为：D. 
【分析】设   ， 求导得  ， 令 ，得   ， 设 ，则  先分析的极值点的情况，然后再根据极值点的最多个数,从而确定出两段函数的极值点个数,然后由根的分布，列出关于a的不等式组，求解即可.8.【答案】     D【解析】【解答】令 ，得 ．设 ，则 ．由 ，得 ；由 ，得 ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，即 。 故答案为：D． 
【分析】利用函数零点的求解方法，令 ，得 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用函数 恰有两个零点，从而求出实数a的取值范围。二、多选题9.【答案】     A,C,D【解析】【解答】解：对于A，因为 是周期为4的奇函数， 所以 ，所以 ，所以函数 是以4为周期的周期函数，A符合题意；对于B，当 时，函数 为增函数，当 时，函数 为减函数，所以 ，所以 ，又 与 不能同时取等，所以 ，B不符合题意；对于C，当 时， ，所以 ，所以 ，单调递增，C符合题意；对于D，因为 是周期为4的奇函数，所以 ， ， 又 ，所以函数 关于 对称，即函数 的图象有对称轴，因为 ，所以函数 关于 对称，，即函数 的图象有对称中心，D符合题意.故答案为：ACD. 
【分析】根据题意由分段函数的解析式，结合一次函数的单调性、周期、奇偶性以及图象，对选项逐一判断即可得出答案。10.【答案】     A,C,D【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ， 若 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以当 时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为 ，所以A符合题意，B不正确；当 ，由 ，可得当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以函数 任 上不单调，所以C符合题意；当 时，函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，又由 ，当 时， ，所以方程 恰好有两个解，等价于 ，即 ，令 ，可得 ， ，所以 为单调递减函数，由 ，当 ，可得 ，所以存在 ，使得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，由 ，且 时， ，所以存在唯一的 ，使得 ，所以D符合题意.故答案为：ACD. 
【分析】总是整理化简函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可求出函数的极值，由m的取值范围结合导函数的性质即可得出选项C正确；由函数的单调性结合零点的定义即可得出选项D正确，由此得出答案。11.【答案】     B,C【解析】【解答】对于A：因为 ，所以 ，当且仅当 即 ， 时等号成立，A不符合题意；对于B： ，当且仅当 即 时等号成立，故答案为：项B符合题意；对于C：由A证明过程可得 ，又 ， ，当且仅当 ， 时等号成立，C符合题意；对于D： ，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，D不符合题意；故答案为：BC. 
【分析】由已知条件整理化简原式，然后由基本不等式计算出最值即可。12.【答案】     A,C【解析】【解答】根据条件可得 ，所以 则 ，由 ， ，所以 A， 的最小正周期是 ，A符合题意.B，由 ，得 ，即 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，B不符合题意.C，函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，根据函数为奇函数知 ，则 ，由 ，则当 时， 有的最小值是 ，C符合题意.D，作出 的图象，又 ， 由图可知，当 时，方程 在 上有2个不同实根 ， ，则 ，设 ，则 ， 最大为 ，D不符合题意.故答案为：AC 
【分析】首先由函数图象对称的性质把点的再把代入计算出  ， 由此得到函数的解析式；由正弦函数的周期公式即可判断出选项A正确；由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调性以及单调区间由此判断出，选项B错误；由函数平移的性质即可得出但由此判断出想C正确；结合正弦函数的图象由数形结合法即可得出答案，由此判断出选项D错误，从而得出答案。三、填空题13.【答案】     1【解析】【解答】∵函数 为偶函数， ∴ ，即   ， ∴   ， ∴   ， ∴   ， ∴  。故答案为：1。 
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值。14.【答案】     4【解析】【解答】由题意可得 ， 所以， ，所以， ，当且仅当 时，等号成立，此时有 .因此， 的最大值是4.故答案为：4. 
【分析】首先整理化简原式，然后由基本不等式计算出最大值即可。15.【答案】     ，填一个即可【解析】【解答】解：不等式a+b>-x2+4x+14-m对任意实数x恒成立，
则(a+b)min>-x2+4x+14-m，
又
当且仅当   ， 即a=4，b=12时等号成立，
∴-x2+4x+14-m≤16，
∴m≥-x2+4x-2，
又-x2+4x-2=-(x-2)2+2≤2，
∴m≥2.
故答案为:m≥2. 【分析】先根据化归思想将不等式恒成立问题等价转化为求f(x)=-x2+4x-2的最小值，结合基本不等式求最值即可求解.16.【答案】     【解析】【解答】因为直线 过定点 ，且斜率为 ， 作出函数 的函数图象，如图：数形结合可知 ，即 ，由于 ，对称轴为 ，所以在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， ，所以 ，则 的取值范围是 .故答案为： . 
【分析】利用直线 过定点 ，且斜率为 ，从而作出函数g(x)的图像，再利用分段函数的解析式画出分段函数 的函数图象，再利用 ， 恰有两个零点结合函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而由两函数的图像求出实数k的取值范围，令 ，再利用二次函数的图像的对称性和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数在定义域上的值域，进而求出t的取值范围，从而求出 的取值范围。四、解答题17.【答案】     （1）解：因为 所以    当 时， 即 ；当 时，恒成立；当 时， 即 ；综上所述
（2）由题可知    当且仅当 ，即 时等号成立；又因为 ，即 ， 所以 当且仅当 即 时等号成立.故得证.【解析】【分析】(1)根据题意由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，再由不等式的解法求出不等式的解集。 (2)由已知条件结合基本不等式即可得出  ， 从而得证出结论。18.【答案】     （1）因为 ，  由 ，解得 ，因此，函数 的单调递增区间为 ；
（2） ，可得 ，  因为 ，则 ，所以， ，因此， .【解析】【分析】(1)根据题意首先由两角和的正弦公式化简整理即可得出函数的解析式，再由正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)已知条件把点的坐标代入计算出  ， 结合角的取值范围和同角三角函数的基本关系式，计算出的值，再由二倍角的正弦公式代入计算出结果即可。   19.【答案】     （1）  ，    令 所以函数 在 ，（ ）单调递增；令 所以函数 在 ，（ ）单调递减.
（2）由（1）可知    角 为锐角， 由正弦定理，   即三角形为直角三角形， 则 【解析】【分析】(1)首先由数量积的坐标公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)由(1)的的结论，把数值代入到函数的解析式，结合三角形的几何性质即可得出角A的值，和由正弦定理代入数值计算出角B以及边C的大小，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。   20.【答案】     （1） ， ，  令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 ， 单增，   单减，所以极大值 ，极小值
（2） ， ，  ， ， ， ，①当 ，即 时， ，所以 单增， ，所以 单增， ，符合题意.②当 ，即 时， ，使得当 时 ，所以 在 单减， ，矛盾，所以舍去.综上 .【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的形状即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值。
(2)由已知条件构造函数g(x)，再对其求导结合a的不同取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数的单调性，由此得出满足条件的a的取值范围。   21.【答案】     （1）因为 ，  当 时， ，所以 在 上单调递增，当 时，若 时， ， 单调递增；若 时， ， 单调递减，综上： 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，  设 ，所以 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，此时 显然不恒成立；当 时，若 时， ， 单调递增；若 时， ， 单调递减，所以 ，所以 ，又因为 ，令 ， ，所以 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；所以 ，所以 的最小值为 .【解析】【分析】(1)首先根据题意对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性。
(2)由已知条件结合分离参数法即可得出 在 上恒成立，构造函数   ， 整理得到然后由k的取值范围即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数g(x)的最大值，由此得出  ， 由已知条件即可得出  ， 利用导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出的最小值。 22.【答案】     （1）解:因为 ，  所以 ，所以 为偶函数﹐令 在 上递减，而函数 为增函数，所以函数 在区间 内单调递减，又 ，所以 ，解得 或 综上，原不等式的解集是
（2）设 ，则 .  因为方程 在区间 内有 个不等实根﹐所以方程 有 个不等实根 ，其中 ，所以 即 ，解得   ，则 ，所以 ，所以当 ，即 时有最小值，最小值为 .【解析】【分析】（1）先确定原函数的定义域，定义域关于原点对称，再研究其奇偶性，有奇偶性再研究其单调性，根据单调性、定义域和题设条件列不等式组，求解即得。 （2）根据题设条件并运用系数代换法列式求解m和n的关系及其取值范围，然后代入待求式中，化简变换为已知条件求解。