北师大版九年级上册1 反比例函数巩固练习

初三数学反比例函数练习

一．选择题（共4小题）

1．如图，在平面直角坐标系中，为的对称中心，，轴交轴于点，点的坐标为，反比例函数上的图象经过点，将沿轴向上平移，使点的对应点落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段扫过的面积为　　

A．6 B．8 C．12 D．24

2．某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论：

①函数的图象与直线没有交点；

②函数的图象与直线只有一个交点，则；

③点在函数的图象上，则点也在函数的图象上．

以上结论正确的是　　

A．①② B．①②③ C．②③ D．①③

3．如图，正方形的边，在坐标轴上，矩形的边在上，且，边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，，则点的坐标是　　

A．， B．， C．， D．，

4．如图，已知第一象限的点在反比例函数上，过点作交轴于点，，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数上，则的值为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共6小题）

5．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，在延长线上，，直线，与和轴交点分别为，，连接，的面积为1，则的值是 　　     ．

6．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，连接，，与轴交于点，若，面积为6，则的值为 　　    ．

7．如图，已知点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，、在轴的同侧，，，与间的距离为，则的值是 　      　．

8．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，将线段绕点逆时针旋转至，点是线段的中点，若反比例函数的图象恰好经过点、点，则 　      　．

9．已知为双曲线的点，点作轴，轴的垂线分别交直线于点、两点（点在点下方），若直线与轴交于点，与轴相交于点，则的值为 　      　．

10．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且，则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为 　     　．

三．解答题（共5小题）

11．我市城市规划期间，欲拆除沿江路的一根电线杆（如图），已知堤坝距电线杆水平距离米，背水坡的坡度，坝高米，在坝顶处测得杆顶的仰角为，、之间是宽2米的人行道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上，请说明理由（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区城为危验区城）．

12．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）

13．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．、为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，之间的距离约为，某日，我国一艘海监船从点沿正北方向巡航，在点测得岛屿的西端点在点的北偏东方向；海监船继续航行后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东方向，求点距离海监船航线的最短距离（结果精确到，．

14．如图，甲、乙两车在行驶、超车过程均近似地看作直线平移，已知甲、乙两车均以20米秒的速度在右车道匀速行驶，甲车头与乙车头之间的距离米，车宽米，为保证安全，一般车子在行驶过程中与车行道分界线相距0.6米，甲、乙两车行驶路线与所在直线平行于道路分界线，现乙车加速，沿路线加速行驶到左车道，且，若、、刚好在同一水平线上．

（1）求的距离；

（2）已知该高速路段限速，判断乙车在超车过程是否超速？请通过计算说明．

（参考数据：，

15．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图，完全开启后，把手的仰角，此时把手端点、出水口和点落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2．（参考数据：，，

（1）求把手端点到的距离；

（2）求的长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．如图，在平面直角坐标系中，为的对称中心，，轴交轴于点，点的坐标为，反比例函数上的图象经过点，将沿轴向上平移，使点的对应点落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段扫过的面积为　　

A．6 B．8 C．12 D．24

【分析】根据为的对称中心，，轴交轴于点，点的坐标为，可求点、的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据面积公式求出结果．

【解答】解：，轴交轴于点，点的坐标为，

，，

代入反比例函数的关系式得，，

为的对称中心，点的坐标为，

点的坐标为，

当时，，

点

，

平行四边形的面积为，

故选：．

【点评】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将平移后扫过的面积就是平行四边形的面积是关键．

2．某数学小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，经过讨论得到以下几个结论：

①函数的图象与直线没有交点；

②函数的图象与直线只有一个交点，则；

③点在函数的图象上，则点也在函数的图象上．

以上结论正确的是　　

A．①② B．①②③ C．②③ D．①③

【分析】①根据题意得出与的函数关系式，当时，解得，若方程无解，说明两个函数图象无交点，

②当时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为0即可，

③通过导入，发现两个点的坐标均满足函数的关系式，因此当其中的一个点在函数的图象上时，另一个点也在这个函数的图象上．

【解答】解：①由 题意得，，

当时，即：，

也就是，

△，

此方程无实数根，

故，与无交点，因此①正确，

②由①得，

当时，即：，

也就是，

当△时，函数的图象与直线只有一个交点，

此时，，因此②正确，

③点、点均满足得，，

点在函数的图象上，则点也在函数的图象上．

因此③正确，

故选：．

【点评】考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程根的判别式等知识，当两个函数的关系式组成方程组有两个解时，说明两个函数的图象有两个交点，方程组有一个解，或两个相等的实数根，即两个函数的图象有一个交点，当方程组五实数解时，两个函数的图象无交点．

3．如图，正方形的边，在坐标轴上，矩形的边在上，且，边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，，则点的坐标是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】设出点的横坐标为，根据，可以表示出点，的坐标，再根据点，都在同一个反比例函数的图象上，可以列出方程求解即可得出

【解答】解：正方形，

，

设，则，

，，

，

，

，，

点，在反比例函数的图象上，因此：，

解得：舍去，或

当时，，

故选：．

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形、矩形的性质，设出未知数，表示出相应点的坐标，是解决问题的关键．

4．如图，已知第一象限的点在反比例函数上，过点作交轴于点，，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数上，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】作于，轴于，由，得出，即可求得，，设，，，根据坐标特征求得，得出，，进而求得和，然后通过证得△，求得，，代入，即可求得的值．

【解答】解：作于，轴于，

，

，

，，，

，

，，

设，，，

点在反比例函数上，

，

，

，，

，

，

，

在△和中

△，

，，

，，

点恰好落在反比例函数上，

，

故选：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．

二．填空题（共6小题）

5．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，在延长线上，，直线，与和轴交点分别为，，连接，的面积为1，则的值是　6　．

【分析】设，，则，，解直角三角形求出和的长，然后利用三角形的面积公式可得到，即得到的值．

【解答】解：设，则，，

，，

，

，

，

在中，，

在中，，

的面积为1，

，

，

，

点在反比例函数的图象上，

．

故答案为6．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示、，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值．

6．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，连接，，与轴交于点，若，面积为6，则的值为　　．

【分析】设，，根据面积为6可列出方程，求出的值，再分别求出，即可．

【解答】解：，，，

，，

设，，

，，

，

，

，

点在双曲线上，点在双曲线上，

，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，则点的坐标满足函数的解析式，也考查了反比例函数的系数的几何意义．根据面积关系得出方程是解决问题的关键．

7．如图，已知点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，、在轴的同侧，，，与间的距离为，则的值是　6　．

【分析】利用反比例函数比例系数的几何意义，得出，，再根据，即可求出的值．

【解答】解：如图，由题意知：

①，②，

①②，得，

即，

同理，可得，

，

，

又，

，，

．

故答案是：6．

【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，利用数形结合是解题的关键．

8．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，将线段绕点逆时针旋转至，点是线段的中点，若反比例函数的图象恰好经过点、点，则　　．

【分析】根据题意可以求得点的横坐标，然后根据反比例函数的图象恰好经过点、，从而可以求得的值．

【解答】解：作轴于点，如图所示，

，，，

，，

，

△，

，

点，

，

设点的坐标为，

点是线段的中点，点，

点的坐标为，

反比例函数的图象恰好经过点，

，

解得，，

故答案为：．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．已知为双曲线的点，点作轴，轴的垂线分别交直线于点、两点（点在点下方），若直线与轴交于点，与轴相交于点，则的值为　　．

【分析】为双曲线的点，点的纵横坐标的积为常数，直线与轴、轴的交点坐标后可得与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，于是等于横坐标的倍，等于纵坐标的倍，就是点的纵横坐标积的2倍，进而求出答案．

【解答】解：设，则，

与轴、轴的交点为、，

，即是等腰直角三角形，

过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，

，

同理：，

．

故答案为：．

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质，以及整体代入思想方法，画出适当的图形，结合图形和特殊图形的边角关系求得答案．

10．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且，则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为　　．

【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由题中的数据，可以证明出，进而得出，而可以求出，问题得以解决．

【解答】解：过点作，垂足为，

设

点是点的“的和谐点”，

，

点在函数的图象上，

，

即：或（舍去，

，

点在直线上，

直线与轴、轴相交于点、，则、，，

，，

，

；

故答案为：

【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“和谐点”的意义是解决问题的前提．

三．解答题（共5小题）

11．我市城市规划期间，欲拆除沿江路的一根电线杆（如图），已知堤坝距电线杆水平距离米，背水坡的坡度，坝高米，在坝顶处测得杆顶的仰角为，、之间是宽2米的人行道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上，请说明理由（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区城为危验区城）．

【分析】根据坡度的概念求出，得到的长，根据正切的定义求出，得到的长，比较大小得到答案．

【解答】解：不需要将此人行道封上．

背水坡的坡度，坝高，

，

，

由题意得，四边形为矩形，

，，

在中，，

则，

，

，

，

不需要将此人行道封上．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

12．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）

【分析】过点作于点，则，．解，得出，那么．再证明，根据相似三角形对应边成比例求出，进而求出即可．

【解答】解：如图，过点作于点，

则，．

在中，，

，

．

，，

．

由题意，易知，

，

即，

解之，得，

．

这棵古树的高为．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．

13．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．、为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，之间的距离约为，某日，我国一艘海监船从点沿正北方向巡航，在点测得岛屿的西端点在点的北偏东方向；海监船继续航行后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东方向，求点距离海监船航线的最短距离（结果精确到，．

【分析】如图，延长交于．设，，构建方程组即可解决问题；

【解答】解：如图，延长交于．设，，

在中，，

①

在中，，

②，

由①②可得，

，

答：点距离海监船航线的最短距离为．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会根据方程组解决问题，属于中考常考题型．

14．如图，甲、乙两车在行驶、超车过程均近似地看作直线平移，已知甲、乙两车均以20米秒的速度在右车道匀速行驶，甲车头与乙车头之间的距离米，车宽米，为保证安全，一般车子在行驶过程中与车行道分界线相距0.6米，甲、乙两车行驶路线与所在直线平行于道路分界线，现乙车加速，沿路线加速行驶到左车道，且，若、、刚好在同一水平线上．

（1）求的距离；

（2）已知该高速路段限速，判断乙车在超车过程是否超速？请通过计算说明．

（参考数据：，

【分析】（1）根据三角函数解答即可；

（2）根据三角函数和速度、路程与时间的关系解答即可．

【解答】解：（1），

；

（2）乙车在超车过程没有超速，理由如下：

，

，

，

，

，

乙车在超车过程没有超速．

【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形中的三角函数解答．

15．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图，完全开启后，把手的仰角，此时把手端点、出水口和点落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2．（参考数据：，，

（1）求把手端点到的距离；

（2）求的长．

【分析】（1）过点作于点，过点作于点，根据直角三角形的性质解答即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，

在中，．

，

，

．

（2）根据题意：．

．

，

，

，

．

，

．

答：的长度是．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是先构造出直角三角形，再由直角三角形的性质进行解答．

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日期：2019/11/15 0:29:40；用户：13451323221；邮箱：13451323221；学号：21410123