初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法课时训练

这是一份初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2.2　一元二次方程的解法
第3课时　用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
一、选择题
1.将4x2－8x－1＝0配方为a(x＋m)2＝n的形式是(　　)
A．4(x－1)2＝1 B．4(x－1)2＝5 C．4(x－1)2＝3 D．4(x－1)2＝－3
2.用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以(　　)
A．3 B．－3 C． D．－
3.【2020·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0时，配方正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉做的，文本框②中是琪琪做的，对于两人的做法，说法正确的是(　　)

A．两人都正确
B．嘉嘉正确，琪琪不正确
C．嘉嘉不正确，琪琪正确
D．两人都不正确
5.方程ax2＋bx＋c＝0配方后得到方程(2x－3)2＝－6.则下列说法不正确的是(　　)
A．原方程可以是4x2－12x＋15＝0
B．配方后的方程可以用直接开平方法求解
C．原方程也可以配方为＝－
D．方程没有实数根
6.下面是用配方法解方程2x2－x－6＝0的过程，开始出现错误的步骤是(　　)
解：2x2－x＝6，①
x2－x＝3，②
x2－x＋＝3＋，③
＝.④
A．① B．② C．③ D．④
7.对于任何实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是(　　)
A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
8.若用配方法将一元二次方程x2－3x＋＝0转化为a(x＋m)2＋n＝0的形式，则m＋n的值是(　　)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
9.用配方法解方程3x2＋x＝1，应在方程两边同时(　　)
A．先除以3，再加上 B．先乘，再减去
C.先除以3，再加上 D．先乘，再减去
10.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
11.下列对于配方法叙述错误的是(　　)
A．二次项系数为1，一次项系数是偶数的一元二次方程都适合用配方法求解
B．一次项系数是0的一元二次方程都不适合用配方法求解
C．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一步可以在方程两边同时除以二次项系数
D．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一步可以在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方
12.解方程3x2－2x＋3＝0，正确的解法是(　　)
A.＝，x＝±
B.＝－，原方程无解
C.＝，x1＝＋，x2＝－
D.＝1，x1＝，x2＝－
二、填空题
13.【中考·荆州B卷】用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[(x＋1)2＋k]＝0，其中k＝______．
14.用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，变形后为(x－1)2＝______．
15.已知y1＝4x2－4x＋1,y2＝4x－2,则当x＝  　时,y1＝y2. 
16.用配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0,c>0)得到(x－c)2＝4c2,从而解得方程的一个根为1,则a－3b＝　 　. 
17.解方程：2x2－3x－2＝0.
为了便于配方，我们将常数项移到右边，
得2x2－3x＝________；
再把二次项系数化为1，
得x2－________x＝________；
然后配方，得x2－______x＋______＝______＋_______；
进一步得＝，
解得方程的两个根为______________．
18.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a,b,m均为常数,且a≠0)的两个解是x1=3和x2=7,则方程a(3x+m-1)2+b=0的解是　 　. 
三、解答题
19.用配方法解方程．
(1)【2021·福州鼓楼区期末】2x2－5x－2＝0；
(2)(2x－1)(x＋3)＝4.





20.当x为何值时，代数式5x2＋7x＋1和代数式x2－9x＋15的值相等？








21.【2020·嘉兴】比较x2＋1与2x的大小．
(1)尝试(用“<”“＝”或“>”填空)：
①当x＝1时，x2＋1________2x；
②当x＝0时，x2＋1________2x；
③当x＝－2时，x2＋1________2x.
(2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．






22.【2020·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．






23.用配方法说明：不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大，并求出当x为何值时，两代数式的差最小．







24．阅读材料：
①我们知道：若几个非负数的和等于0，则其中每一个非负数都等于0.即：若a2＋|b|＝0，则a＝0且b＝0.
②把形如ax2＋bx＋c的二次三项式的一部分配成完全平方式的做法叫作配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.例如：(x－1)2＋3是x2－2x＋4的一种形式的配方，(x－2)2＋2x是x2－2x＋4的另一种形式的配方．
请阅读材料①与②，解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋1的两种不同形式的配方；
(2)已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求2x－y的值；
(3)已知a2＋2b2＋c2－2ab－4b－2c＋5＝0，求a＋b＋c的值．

参考答案
一、选择题
1.将4x2－8x－1＝0配方为a(x＋m)2＝n的形式是(　B　)
A．4(x－1)2＝1 B．4(x－1)2＝5 C．4(x－1)2＝3 D．4(x－1)2＝－3
2.用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以(　B　)
A．3 B．－3 C． D．－
3.【2020·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0时，配方正确的是(　A　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉做的，文本框②中是琪琪做的，对于两人的做法，说法正确的是(　　)

A．两人都正确
B．嘉嘉正确，琪琪不正确
C．嘉嘉不正确，琪琪正确
D．两人都不正确
【点拨】两人的做法都正确．本题易错点：只会将二次项系数化为1配方，从而否定琪琪将二次项系数化为完全平方数的思路，导致误选B.
【答案】A
5.方程ax2＋bx＋c＝0配方后得到方程(2x－3)2＝－6.则下列说法不正确的是(　B　)
A．原方程可以是4x2－12x＋15＝0
B．配方后的方程可以用直接开平方法求解
C．原方程也可以配方为＝－
D．方程没有实数根
【点拨】∵方程(2x－3)2＝－6＜0，不能开平方，所以选项B错误．
6.下面是用配方法解方程2x2－x－6＝0的过程，开始出现错误的步骤是(　C　)
解：2x2－x＝6，①
x2－x＝3，②
x2－x＋＝3＋，③
＝.④
A．① B．② C．③ D．④
7.对于任何实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是(　D　)
A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
8.若用配方法将一元二次方程x2－3x＋＝0转化为a(x＋m)2＋n＝0的形式，则m＋n的值是(　C　)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
9.用配方法解方程3x2＋x＝1，应在方程两边同时(　C　)
A．先除以3，再加上 B．先乘，再减去
C.先除以3，再加上 D．先乘，再减去
10.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　B　)
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
11.下列对于配方法叙述错误的是(　D　)
A．二次项系数为1，一次项系数是偶数的一元二次方程都适合用配方法求解
B．一次项系数是0的一元二次方程都不适合用配方法求解
C．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一步可以在方程两边同时除以二次项系数
D．用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，第一步可以在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方
12.解方程3x2－2x＋3＝0，正确的解法是(　B　)
A.＝，x＝±
B.＝－，原方程无解
C.＝，x1＝＋，x2＝－
D.＝1，x1＝，x2＝－
二、填空题
13.【中考·荆州B卷】用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[(x＋1)2＋k]＝0，其中k＝______．
【答案】－6
14.用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，变形后为(x－1)2＝______．
【答案】23
15.已知y1＝4x2－4x＋1,y2＝4x－2,则当x＝  　时,y1＝y2. 
【答案】12或32
16.用配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0,c>0)得到(x－c)2＝4c2,从而解得方程的一个根为1,则a－3b＝　 　. 
【答案】3
17.解方程：2x2－3x－2＝0.
为了便于配方，我们将常数项移到右边，
得2x2－3x＝________；
再把二次项系数化为1，
得x2－________x＝________；
然后配方，得x2－______x＋______＝______＋_______；
进一步得＝，
解得方程的两个根为______________．
【答案】2 1 1 x1＝2，x2＝－
18.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a,b,m均为常数,且a≠0)的两个解是x1=3和x2=7,则方程a(3x+m-1)2+b=0的解是　 　. 
【答案】x1=43,x2=83
三、解答题
19.用配方法解方程．
(1)【2021·福州鼓楼区期末】2x2－5x－2＝0；
解：∵2x2－5x－2＝0，
∴x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，
配方，得x2－x＋＝＋1，即＝，
∴x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
(2)(2x－1)(x＋3)＝4.
解：整理，得2x2＋5x＝7.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋＝＋，即＝，
开方，得x＋＝±，
∴x1＝1，x2＝－.
20.当x为何值时，代数式5x2＋7x＋1和代数式x2－9x＋15的值相等？
解：依题意有5x2 ＋7x ＋1＝x2 －9x＋15.
整理，得4x2＋16x＝14，配方，得(x＋2)2＝.
解得x＝，
∴x1＝，x2＝.
21.【2020·嘉兴】比较x2＋1与2x的大小．
(1)尝试(用“<”“＝”或“>”填空)：
①当x＝1时，x2＋1________2x；
②当x＝0时，x2＋1________2x；
③当x＝－2时，x2＋1________2x.
【答案】＝ > >
(2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
解：x2＋1≥2x.
理由：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，
∴x2＋1≥2x.
22.【2020·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
解：A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：这个和不能为负数．
理由：根据题意，得25＋4a2＋(－16－12a)＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
∵(2a－3)2≥0，∴这个和不能为负数．
23.用配方法说明：不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大，并求出当x为何值时，两代数式的差最小．
解：(3x2＋3x)－(x2＋7x－4)＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2>0，
∴不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大．
∵2(x－1)2≥0，
∴当x＝1时，2(x－1)2取最小值为0，即2(x－1)2＋2的最小值为2.
∴当x＝1时，两代数式的差最小．
24．阅读材料：
①我们知道：若几个非负数的和等于0，则其中每一个非负数都等于0.即：若a2＋|b|＝0，则a＝0且b＝0.
②把形如ax2＋bx＋c的二次三项式的一部分配成完全平方式的做法叫作配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.例如：(x－1)2＋3是x2－2x＋4的一种形式的配方，(x－2)2＋2x是x2－2x＋4的另一种形式的配方．
请阅读材料①与②，解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋1的两种不同形式的配方；
解：x2－4x＋1的两种不同形式的配方分别为x2－4x＋1＝
(x－2)2－3，x2－4x＋1＝(x－1)2－2x；
(2)已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求2x－y的值；
解：由x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，得
x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＝0，
∴(x－2)2＋(y＋3)2＝0.
解得x＝2，y＝－3.
∴2x－y＝4＋3＝7.
(3)已知a2＋2b2＋c2－2ab－4b－2c＋5＝0，求a＋b＋c的值．
解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－4b－2c＋5＝0，
∴a2－2ab ＋b2＋b2－4b＋4＋c2－2c＋1＝0.
∴(a－b)2＋(b－2)2＋(c－1)2＝0.
∴∴a＝b＝2，c＝1. ∴a＋b＋c＝5.