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北师大版数学八年级上册期中数学试卷练习(有答案)
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这是一份北师大版数学八年级上册期中数学试卷练习(有答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x•x3=x3B．（x3）2=x5C．x3÷x=x2D．（xy2）3=xy6
3．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣0.64没有立方根B．﹣5是（﹣5）2的平方根
C．9的立方根是3D．27的立方根是±3
5．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②5，12，13；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
6．（2分）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（ ）
A．4x4B．2xC．4xD．﹣4x
7．（2分）如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2=（a﹣b）2
8．（2分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是（ ）
A．π﹣1B．﹣π﹣1C．﹣π﹣1或π﹣1D．﹣π﹣1或π﹢1
二、填空题（每小题2分，共12分）
9．（2分）比较大小：2 4．
10．（2分）计算：82018•（﹣0.125）2017= ．
11．（2分）长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，则它的另一边长是 ．
12．（2分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为512时，输出的y是 ．
13．（2分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示的点在第 段．
14．（2分）已知等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，则这个等腰三角形的第三边c的长度为 ．
三、解答题（共92分）
15．（6分）计算
（1）﹣+
（2）（﹣1）2017++﹣1|﹣．
16．（12分）计算
（1）2x2y•（﹣3xy3）
（2）（x+5）（2x﹣1）
（3）（2x+1）（2x﹣1）﹣3x2﹣3x2
（4）（2a+1）2﹣（1﹣2a）2．
17．（12分）计算
（1）÷
（2）3
（3）
（4）．
18．（12分）因式分解
（1）﹣10x2y﹣5xy2+15xy
（2）4x2﹣9y2
（3）4x4+4x3+x2
（4）（1﹣a）﹣b2（1﹣a）
19．（5分）已知a=，b=，求a2b+ab2的值．
20．（5分）先化简，再求值：x（x﹣y）+（x+y）（2x﹣y），其中x=，y=2．
21．（5分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简．
22．（5分）小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．
23．（6分）若实数x、y满足y＞，求的值．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25cm，在顶点A处有一只蜗牛P，以1cm/s的速度沿AC方向爬行，顶点C处有一只蚂蚁Q，以6cm/s的速度沿CB方向爬行，两个小家伙同时出发．
（1）求BC的长；
（2）若它们都爬行3s，求此时PQ的长．
25．（8分）阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P= ．
26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3，
（1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= （用含x的代数式表示），CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= ．
（2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x•x3=x3B．（x3）2=x5C．x3÷x=x2D．（xy2）3=xy6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x•x3=x4，故此选项错误；
B、（x3）2=x6，故此选项错误；
C、x3÷x=x2，正确；
D、（xy2）3=x3y6，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；
B、==，所以B选项的计算正确；
C、÷==，所以C选项的计算正确；
D、（﹣）2=2，所以D选项的计算正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣0.64没有立方根B．﹣5是（﹣5）2的平方根
C．9的立方根是3D．27的立方根是±3
【分析】利用平方根、立方根定义判断即可．
【解答】解：A、﹣0.64有立方根，不符合题意；
B、﹣5是（﹣5）2的平方根，符合题意；
C、9的立方根是，不符合题意；
D、27的立方根是3，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②5，12，13；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．
【解答】解：①∵22+32=4+9=13，42=16，即22+32≠42，
∴①构不成直角三角形；
②∵52+122=169，132=169，即52+122=132，
∴②构成直角三角形；
③∵12+（）2=1+3=4，22=4，即12+（）2=22，
∴③构成直角三角形；
则构成直角三角形的有：②③．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的简便方法是：两个较小的数的平方和等于最大数的平方即为直角三角形．
6．（2分）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（ ）
A．4x4B．2xC．4xD．﹣4x
【分析】根据完全平方公式的结构对各选项进行验证即可得解．
【解答】解：A、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，故本选项错误；
B、2x+4x2+1不能构成完全平方公式结构，故本选项正确．
C、4x+4x2+1=（2x+1）2，故本选项错误；
D、﹣4x+4x2+1=（2x﹣1）2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题是对完全平方公式的考查，熟记公式结构是解题的关键，完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
7．（2分）如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2=（a﹣b）2
【分析】根据图形可以写出相应的等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是（ ）
A．π﹣1B．﹣π﹣1C．﹣π﹣1或π﹣1D．﹣π﹣1或π﹢1
【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长=π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π﹣1；
当圆向右滚动时点A′表示的数是π﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
二、填空题（每小题2分，共12分）
9．（2分）比较大小：2 ＜ 4．
【分析】首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案．
【解答】解：2=，4=，
∵28＜32，
∴＜，
∴2＜4．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
10．（2分）计算：82018•（﹣0.125）2017= ﹣8 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．
【解答】解：82018•（﹣0.125）2017
=（﹣8×0.125）2017×8
=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
11．（2分）长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，则它的另一边长是 a﹣b+2 ．
【分析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边．
【解答】解：∵长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2﹣3ab+6a）÷3a=a﹣b+2，
故答案为：a﹣b+2．
【点评】本题考查了整式的除法，依据长方形面积公式，边长乘以边长，而求边长即为面积除以其中一个边长而得．
12．（2分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为512时，输出的y是 ．
【分析】把512按给出的程序逐步计算即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把512取立方根，结果为8，
因为8是有理数，所以再取立方根为2，
2是有理数，所以再取立方根为，
因为2是无理数，输出，
故答案为：．
【点评】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．
13．（2分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示的点在第 ③ 段．
【分析】估算确定出所求范围即可．
【解答】解：∵7.84＜8＜8.41，
∴2.8＜＜2.9，
则表示的点在第③段，
故答案为：③
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）已知等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，则这个等腰三角形的第三边c的长度为 4 ．
【分析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，
∴a2+b2﹣8a﹣4b+（16+4）=0，
∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣4b+4）=0，
∴（a﹣4）2+（b﹣2）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣2=0，
∴a=4，b=2．
当腰为4时，等腰三角形的周长为4+4+2=10，c=4；
当腰为2时，2+2=4，构不成三角形，故本答案舍去；
故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
三、解答题（共92分）
15．（6分）计算
（1）﹣+
（2）（﹣1）2017++﹣1|﹣．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=﹣+3=3；
（2）原式=﹣1﹣3+﹣1﹣=﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（12分）计算
（1）2x2y•（﹣3xy3）
（2）（x+5）（2x﹣1）
（3）（2x+1）（2x﹣1）﹣3x2﹣3x2
（4）（2a+1）2﹣（1﹣2a）2．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣6x3y4，
（2）原式=2x2﹣9x﹣5
（3）原式=4x2﹣1﹣3x2﹣3x2=﹣2x2﹣1
（4）原式=[（2a+1）+（1﹣2a）][（2a+1）﹣（1﹣2a）]
=2×4a
=8a
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17．（12分）计算
（1）÷
（2）3
（3）
（4）．
【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）利用二次根式的乘法法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式==；
（2）原式=15﹣6
=60﹣24；
（3）原式=4﹣3+
=；
（4）原式=2﹣﹣+
=．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
18．（12分）因式分解
（1）﹣10x2y﹣5xy2+15xy
（2）4x2﹣9y2
（3）4x4+4x3+x2
（4）（1﹣a）﹣b2（1﹣a）
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（4）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=5xy（﹣2x﹣y+3）；
（2）原式=（2x+3y）（2x﹣3y）；
（3）原式=x2（x+1）2；
（4）原式=（1﹣a）（1+b）（1﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（5分）已知a=，b=，求a2b+ab2的值．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：当a=，b=时，
原式=ab（a+b）
=（7﹣5）×2
=4
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
20．（5分）先化简，再求值：x（x﹣y）+（x+y）（2x﹣y），其中x=，y=2．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x=，y=2
原式=x2﹣xy+2x2+xy﹣y2
=3x2﹣y2
=3×2﹣4
=2
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简．
【分析】利用数轴表示数的方法得到﹣1＜a＜0，0＜b＜1，再利用二次根式的性质得原式=|a+1|﹣|b﹣2|﹣a，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：根据题意得﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
所以原式=|a+1|﹣|b﹣2|﹣a
=a+1+b﹣2﹣a
=b﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
22．（5分）小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．
【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2=•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解．
【解答】解：设圆的半径为R，
根据题意得πR2=•，即πR2=2π••，
解得R1=，R2=﹣（舍去），
所以所求圆的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
23．（6分）若实数x、y满足y＞，求的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列式求出x和y的范围，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，6﹣3x≥0，
解得，x=2，
则y＞3，
则=y﹣3﹣y+2=2﹣3=﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25cm，在顶点A处有一只蜗牛P，以1cm/s的速度沿AC方向爬行，顶点C处有一只蚂蚁Q，以6cm/s的速度沿CB方向爬行，两个小家伙同时出发．
（1）求BC的长；
（2）若它们都爬行3s，求此时PQ的长．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分别表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理求得PQ的长即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25m．
∴BC==24（cm）．
答：BC的长是24cm；
（2）出发3秒后，AP=3cm，CQ=18cm，
∴PC=7﹣3=4cm，
∴PQ==2cm，
∴PQ的长是2cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
25．（8分）阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P= 27 ．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）设另外一个因式为：x+n
∴（2x2+3x﹣k）=（2x﹣5）（x+n）
∴
∴n=4，k=﹣20
（2）设另一个因式为：2x+n
∴2x2﹣13x+p=（2x+n）（x﹣3）
∴
∴解得：
故答案为：（2）27
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3，
（1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= 5﹣x （用含x的代数式表示），CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= ．
（2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长．
【分析】（1）设AE=EC=x，在Rt△CED′中，根据ED′2+CD′2=CE2，构建方程即可解决问题；
（2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图③中，设PA=PA′=m．首先证明△DFP≌△A′FE，推出DP=A′E=3﹣m，PF=EF，由DF=FA′，推出DE=PA′=m，EC=5﹣m，BE=5﹣（3﹣m）=2+m，在Rt△ECB中，可得（2+m）2=32+（5﹣m）2，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，连接AE．
根据对称性可知AE=EC，设AE=EC=x，则DE=D′E=5﹣x，
在Rt△CED′中，∵ED′2+CD′2=CE2，
∴32+（5﹣x）2=x2，
解得x=，
∴DE=，CE=，
故答案为5﹣x，．
（2）如图②中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DE=EB，设DE=EB=y，
在Rt△BEC中，y2=32+（5﹣y）2，
解得y=，
∴CE=5﹣=．
（3）如图③中，设PA=PA′=m．
∵∠D=∠A′=90°，DF=FA′，∠DFP=∠A′FE，
∴△DFP≌△A′FE，
∴DP=A′E=3﹣m，PF=EF，
∵DF=FA′，
∴DE=PA′=m，EC=5﹣m，BE=5﹣（3﹣m）=2+m，
在Rt△ECB中，（2+m）2=32+（5﹣m）2，
解得m=，
∴CE=5﹣=．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x•x3=x3B．（x3）2=x5C．x3÷x=x2D．（xy2）3=xy6
3．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣0.64没有立方根B．﹣5是（﹣5）2的平方根
C．9的立方根是3D．27的立方根是±3
5．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②5，12，13；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
6．（2分）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（ ）
A．4x4B．2xC．4xD．﹣4x
7．（2分）如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2=（a﹣b）2
8．（2分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是（ ）
A．π﹣1B．﹣π﹣1C．﹣π﹣1或π﹣1D．﹣π﹣1或π﹢1
二、填空题（每小题2分，共12分）
9．（2分）比较大小：2 4．
10．（2分）计算：82018•（﹣0.125）2017= ．
11．（2分）长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，则它的另一边长是 ．
12．（2分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为512时，输出的y是 ．
13．（2分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示的点在第 段．
14．（2分）已知等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，则这个等腰三角形的第三边c的长度为 ．
三、解答题（共92分）
15．（6分）计算
（1）﹣+
（2）（﹣1）2017++﹣1|﹣．
16．（12分）计算
（1）2x2y•（﹣3xy3）
（2）（x+5）（2x﹣1）
（3）（2x+1）（2x﹣1）﹣3x2﹣3x2
（4）（2a+1）2﹣（1﹣2a）2．
17．（12分）计算
（1）÷
（2）3
（3）
（4）．
18．（12分）因式分解
（1）﹣10x2y﹣5xy2+15xy
（2）4x2﹣9y2
（3）4x4+4x3+x2
（4）（1﹣a）﹣b2（1﹣a）
19．（5分）已知a=，b=，求a2b+ab2的值．
20．（5分）先化简，再求值：x（x﹣y）+（x+y）（2x﹣y），其中x=，y=2．
21．（5分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简．
22．（5分）小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．
23．（6分）若实数x、y满足y＞，求的值．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25cm，在顶点A处有一只蜗牛P，以1cm/s的速度沿AC方向爬行，顶点C处有一只蚂蚁Q，以6cm/s的速度沿CB方向爬行，两个小家伙同时出发．
（1）求BC的长；
（2）若它们都爬行3s，求此时PQ的长．
25．（8分）阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P= ．
26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3，
（1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= （用含x的代数式表示），CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= ．
（2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x•x3=x3B．（x3）2=x5C．x3÷x=x2D．（xy2）3=xy6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x•x3=x4，故此选项错误；
B、（x3）2=x6，故此选项错误；
C、x3÷x=x2，正确；
D、（xy2）3=x3y6，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；
B、==，所以B选项的计算正确；
C、÷==，所以C选项的计算正确；
D、（﹣）2=2，所以D选项的计算正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣0.64没有立方根B．﹣5是（﹣5）2的平方根
C．9的立方根是3D．27的立方根是±3
【分析】利用平方根、立方根定义判断即可．
【解答】解：A、﹣0.64有立方根，不符合题意；
B、﹣5是（﹣5）2的平方根，符合题意；
C、9的立方根是，不符合题意；
D、27的立方根是3，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②5，12，13；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．
【解答】解：①∵22+32=4+9=13，42=16，即22+32≠42，
∴①构不成直角三角形；
②∵52+122=169，132=169，即52+122=132，
∴②构成直角三角形；
③∵12+（）2=1+3=4，22=4，即12+（）2=22，
∴③构成直角三角形；
则构成直角三角形的有：②③．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的简便方法是：两个较小的数的平方和等于最大数的平方即为直角三角形．
6．（2分）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（ ）
A．4x4B．2xC．4xD．﹣4x
【分析】根据完全平方公式的结构对各选项进行验证即可得解．
【解答】解：A、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，故本选项错误；
B、2x+4x2+1不能构成完全平方公式结构，故本选项正确．
C、4x+4x2+1=（2x+1）2，故本选项错误；
D、﹣4x+4x2+1=（2x﹣1）2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题是对完全平方公式的考查，熟记公式结构是解题的关键，完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
7．（2分）如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2=（a﹣b）2
【分析】根据图形可以写出相应的等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是（ ）
A．π﹣1B．﹣π﹣1C．﹣π﹣1或π﹣1D．﹣π﹣1或π﹢1
【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长=π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π﹣1；
当圆向右滚动时点A′表示的数是π﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
二、填空题（每小题2分，共12分）
9．（2分）比较大小：2 ＜ 4．
【分析】首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案．
【解答】解：2=，4=，
∵28＜32，
∴＜，
∴2＜4．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
10．（2分）计算：82018•（﹣0.125）2017= ﹣8 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．
【解答】解：82018•（﹣0.125）2017
=（﹣8×0.125）2017×8
=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
11．（2分）长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，则它的另一边长是 a﹣b+2 ．
【分析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边．
【解答】解：∵长方形面积是3a2﹣3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2﹣3ab+6a）÷3a=a﹣b+2，
故答案为：a﹣b+2．
【点评】本题考查了整式的除法，依据长方形面积公式，边长乘以边长，而求边长即为面积除以其中一个边长而得．
12．（2分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为512时，输出的y是 ．
【分析】把512按给出的程序逐步计算即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把512取立方根，结果为8，
因为8是有理数，所以再取立方根为2，
2是有理数，所以再取立方根为，
因为2是无理数，输出，
故答案为：．
【点评】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．
13．（2分）在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示的点在第 ③ 段．
【分析】估算确定出所求范围即可．
【解答】解：∵7.84＜8＜8.41，
∴2.8＜＜2.9，
则表示的点在第③段，
故答案为：③
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）已知等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，则这个等腰三角形的第三边c的长度为 4 ．
【分析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，
∴a2+b2﹣8a﹣4b+（16+4）=0，
∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣4b+4）=0，
∴（a﹣4）2+（b﹣2）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣2=0，
∴a=4，b=2．
当腰为4时，等腰三角形的周长为4+4+2=10，c=4；
当腰为2时，2+2=4，构不成三角形，故本答案舍去；
故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
三、解答题（共92分）
15．（6分）计算
（1）﹣+
（2）（﹣1）2017++﹣1|﹣．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=﹣+3=3；
（2）原式=﹣1﹣3+﹣1﹣=﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（12分）计算
（1）2x2y•（﹣3xy3）
（2）（x+5）（2x﹣1）
（3）（2x+1）（2x﹣1）﹣3x2﹣3x2
（4）（2a+1）2﹣（1﹣2a）2．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣6x3y4，
（2）原式=2x2﹣9x﹣5
（3）原式=4x2﹣1﹣3x2﹣3x2=﹣2x2﹣1
（4）原式=[（2a+1）+（1﹣2a）][（2a+1）﹣（1﹣2a）]
=2×4a
=8a
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17．（12分）计算
（1）÷
（2）3
（3）
（4）．
【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）利用二次根式的乘法法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式==；
（2）原式=15﹣6
=60﹣24；
（3）原式=4﹣3+
=；
（4）原式=2﹣﹣+
=．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
18．（12分）因式分解
（1）﹣10x2y﹣5xy2+15xy
（2）4x2﹣9y2
（3）4x4+4x3+x2
（4）（1﹣a）﹣b2（1﹣a）
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（4）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=5xy（﹣2x﹣y+3）；
（2）原式=（2x+3y）（2x﹣3y）；
（3）原式=x2（x+1）2；
（4）原式=（1﹣a）（1+b）（1﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（5分）已知a=，b=，求a2b+ab2的值．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：当a=，b=时，
原式=ab（a+b）
=（7﹣5）×2
=4
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
20．（5分）先化简，再求值：x（x﹣y）+（x+y）（2x﹣y），其中x=，y=2．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x=，y=2
原式=x2﹣xy+2x2+xy﹣y2
=3x2﹣y2
=3×2﹣4
=2
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简．
【分析】利用数轴表示数的方法得到﹣1＜a＜0，0＜b＜1，再利用二次根式的性质得原式=|a+1|﹣|b﹣2|﹣a，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：根据题意得﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
所以原式=|a+1|﹣|b﹣2|﹣a
=a+1+b﹣2﹣a
=b﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
22．（5分）小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．
【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2=•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解．
【解答】解：设圆的半径为R，
根据题意得πR2=•，即πR2=2π••，
解得R1=，R2=﹣（舍去），
所以所求圆的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
23．（6分）若实数x、y满足y＞，求的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列式求出x和y的范围，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，6﹣3x≥0，
解得，x=2，
则y＞3，
则=y﹣3﹣y+2=2﹣3=﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25cm，在顶点A处有一只蜗牛P，以1cm/s的速度沿AC方向爬行，顶点C处有一只蚂蚁Q，以6cm/s的速度沿CB方向爬行，两个小家伙同时出发．
（1）求BC的长；
（2）若它们都爬行3s，求此时PQ的长．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分别表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理求得PQ的长即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=7cm，AB=25m．
∴BC==24（cm）．
答：BC的长是24cm；
（2）出发3秒后，AP=3cm，CQ=18cm，
∴PC=7﹣3=4cm，
∴PQ==2cm，
∴PQ的长是2cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
25．（8分）阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，则P= 27 ．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）设另外一个因式为：x+n
∴（2x2+3x﹣k）=（2x﹣5）（x+n）
∴
∴n=4，k=﹣20
（2）设另一个因式为：2x+n
∴2x2﹣13x+p=（2x+n）（x﹣3）
∴
∴解得：
故答案为：（2）27
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3，
（1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= 5﹣x （用含x的代数式表示），CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= ．
（2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长．
【分析】（1）设AE=EC=x，在Rt△CED′中，根据ED′2+CD′2=CE2，构建方程即可解决问题；
（2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图③中，设PA=PA′=m．首先证明△DFP≌△A′FE，推出DP=A′E=3﹣m，PF=EF，由DF=FA′，推出DE=PA′=m，EC=5﹣m，BE=5﹣（3﹣m）=2+m，在Rt△ECB中，可得（2+m）2=32+（5﹣m）2，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，连接AE．
根据对称性可知AE=EC，设AE=EC=x，则DE=D′E=5﹣x，
在Rt△CED′中，∵ED′2+CD′2=CE2，
∴32+（5﹣x）2=x2，
解得x=，
∴DE=，CE=，
故答案为5﹣x，．
（2）如图②中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DE=EB，设DE=EB=y，
在Rt△BEC中，y2=32+（5﹣y）2，
解得y=，
∴CE=5﹣=．
（3）如图③中，设PA=PA′=m．
∵∠D=∠A′=90°，DF=FA′，∠DFP=∠A′FE，
∴△DFP≌△A′FE，
∴DP=A′E=3﹣m，PF=EF，
∵DF=FA′，
∴DE=PA′=m，EC=5﹣m，BE=5﹣（3﹣m）=2+m，
在Rt△ECB中，（2+m）2=32+（5﹣m）2，
解得m=，
∴CE=5﹣=．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
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