人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程集体备课ppt课件

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程集体备课ppt课件，共30页。

雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
解：列方程得整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．①
x 2 = 2(2 - x )，
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
AC：BC=BC：AB
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100 − 2x)cm，
宽为(50 − 2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据题意，列方程：
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
③未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2-x-56=0 ③
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项.
一元二次方程的一般形式是
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
化简整理成x2-3x+2=0
化简整理成12x+10=0
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(1) x2+ x=36
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2−x=2x2；
(2) (a−1)x|a|+1 −2x−7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a − 2)x2−x=0，所以当a − 2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a −1 ≠0知，当a= −1时，原方程是一元二次方程.
方法：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a－4)x2 −2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a − 4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；
（2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程．
方法：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
例3 将方程3x(x − 1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
3x2 −3x=5x+10.
3x2 −8x −10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是−8；常数项是−10.
使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a =0,
方法：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程，将得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.
变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值.
方法：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条570m2，问小路的宽应为多少？
1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是____m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
32×20−(32x＋2×20x)＋2x2=570
x2−36x＋35=0
还有其他的方法吗？试说明原因.
(20−x)(32−2x)=570
第二十一页，共32页。
建立一元二次方程模型的一般步骤
第二十二页，共32页。
1. 下列哪些是一元二次方程？
(x+3)(2x−4)=x2
3y2=(3y+1)(y−2)
第二十三页，共32页。
第二十四页，共32页。
3.关于x的方程(k2−1)x2 ＋ 2(k −1)x＋2k＋ 2＝0，当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程．
第二十五页，共32页。
4.（1）已知方程5x²+mx−6=0的一个根为4，则m的值 为___________;（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2－4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程得m2−4=0，
综上所述：m = 2.
第二十六页，共32页。
5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2 cm2.
第二十七页，共32页。
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，
第二十八页，共32页。
拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根为1， 求a+b+c的值.
思考：1.若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是x=1.
2. 若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗?
第二十九页，共32页。
是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
使方程左右两边相等的未知数的值.