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初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教课ppt课件
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教课ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了xh时y最大k，−20，直线x−2，填一填，x−62，x−62−36，练一练，−15，x0时yc，直线x1等内容，欢迎下载使用。
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
抛物线y=a(x−h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
（1）x2-12x+36=_____________;
（2）x2-12x=_____________ .
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x−h)2+k？
y=ax²+bx+c
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．（1）y=x2-2x+1；（2）y=2x2-4x+6．
解：(1)y=x2−2x+1=(x−1)2，顶点坐标为(1，0)；
(2)y=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，顶点坐标为(1，4).
答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题3 如何画二次函数 的图象？
先利用图形的对称性列表
然后描点画图，得到图象如右图.
问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
解：（1）y＝x2﹣6x+5＝(x﹣3)2﹣4.
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）.
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
第二十一页，共31页。
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
第二十二页，共31页。
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
要点归纳：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其图像上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2),若有y1=y2,则二次函数图象的对称轴
第二十三页，共31页。
2.已知二次函数y=−x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
第二十四页，共31页。
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y= –2时，x的值只能取0；其中正确的是 .
第二十五页，共31页。
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2−12x+13=2(x2-6x+9−9)+13=2(x−3)2−5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为−5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的表达式为y=2(x−5)2−3．
第二十六页，共31页。
5.已知二次函数y=x2−4x−1．（1）将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
解：（1）y=x2−4x−1=(x−2)2−5，
该函数图象顶点B的坐标为（2，−5）.
第二十七页，共31页。
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．
（2）如图，令x=0，则y=−1，∴C（0，−1）.∵B（2，−5），∴A（2，0）.
第二十八页，共31页。
y=ax2+bx+c(a ≠0)(一般式)
第二十九页，共31页。
当x
当x
抛物线y=a(x−h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
（1）x2-12x+36=_____________;
（2）x2-12x=_____________ .
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x−h)2+k？
y=ax²+bx+c
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．（1）y=x2-2x+1；（2）y=2x2-4x+6．
解：(1)y=x2−2x+1=(x−1)2，顶点坐标为(1，0)；
(2)y=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，顶点坐标为(1，4).
答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题3 如何画二次函数 的图象？
先利用图形的对称性列表
然后描点画图，得到图象如右图.
问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
解：（1）y＝x2﹣6x+5＝(x﹣3)2﹣4.
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）.
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
第二十一页，共31页。
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
第二十二页，共31页。
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
要点归纳：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其图像上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2),若有y1=y2,则二次函数图象的对称轴
第二十三页，共31页。
2.已知二次函数y=−x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
第二十四页，共31页。
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y= –2时，x的值只能取0；其中正确的是 .
第二十五页，共31页。
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2−12x+13=2(x2-6x+9−9)+13=2(x−3)2−5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为−5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的表达式为y=2(x−5)2−3．
第二十六页，共31页。
5.已知二次函数y=x2−4x−1．（1）将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
解：（1）y=x2−4x−1=(x−2)2−5，
该函数图象顶点B的坐标为（2，−5）.
第二十七页，共31页。
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．
（2）如图，令x=0，则y=−1，∴C（0，−1）.∵B（2，−5），∴A（2，0）.
第二十八页，共31页。
y=ax2+bx+c(a ≠0)(一般式)
第二十九页，共31页。
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