2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2+y+3＝0
C．（x﹣1）（x+1）＝1D．（x+2）（x﹣1）＝x2
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；
C、由已知方程得到：x2﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、由原方程得到：x﹣2＝0，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DC＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．（3分）利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+4＝5+4，
（x+2）2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．矩形对角线相互垂直平分
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两邻边相等的四边形是菱形
D．一条对角线分别平分对角的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B正确；
【解答】解：A．矩形的对角线相等，故A说法错误；
B．对角线相等的菱形是正方形，正确；
C．两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；
D．一条对角线分别平分对角的四边形不一定是平行四边形，故D说法错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形，以及特殊的平行四边形的判定，关键是熟练掌握各种四边形的判定方法．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．1或0
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x＝0代入原方程即可求得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，
解得m＝±1；
∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，
∴m﹣1≠0即m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4B．C．6D．
【分析】连接BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（3分）在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．
【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B的概率为3÷6×100%＝50%，
C的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，
故选：D．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计图中反映的频率进行判断．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（ ）
A．AC＝CFB．AD＝CFC．∠B＝∠BCFD．DB＝CF
【分析】由矩形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、当AC＝CF时，不能证明四边形ADFC是平行四边形，
∴不能证明四边形ADFC是矩形，故选项A符合题意；
B、AD＝CF时，作CG⊥DF于G，如图所示：
则CG∥AD，
∴四边形ADGC是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ADGC是矩形，
∴AD＝CG，
∴CG＝CF，
∴G与F重合，即四边形ADFC是矩形，故选项B不符合题意；
C、当∠B＝∠BCF时，AB∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ADFC为矩形；故选项C不符合题意；
D、DB＝CF时，
∵DB＝AD，
∴AD＝CF，可证明四边形ADFC是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．9D．6
【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．
【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．
∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，
∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．
∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，
∴△ADH面积＝×DN＝AH2，
在Rt△ABC中，
∵BC＝6
∴AB2+AC2＝BC2＝36，
∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理、以及中位线的性质定理，解题的关键是作出辅助线，分割图形，最后整体求值．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x﹣3）＝0的解为 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：x（x﹣3）＝0，
可得x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝ 1 ．
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴由勾股定理可知：CE＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于基础题型．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是 （﹣2，4） ．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，则MP∥BF，求出M（1，1），则OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，证∠M△OMN是等腰直角三角形，得MN＝MO，则NP＝OP＝1，由平行线分线段成比例定理得＝＝＝，则NF＝4NP＝4，BF＝4MP＝4，进而得出答案．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，如图所示：
则MP∥BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴MA＝MC，MB＝MD，AC⊥BD，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，
∴∠MOP＝45°，
∵AC⊥BD，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN＝MO，
∴NP＝OP＝1，
∵BN＝2ND，
∴BM＝3MN，BN＝4MN，
∵MP∥BF，
∴＝＝＝，
∴NF＝4NP＝4，BF＝4MP＝4，
∴OF＝NF﹣ON＝2，
∴点B（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．
【解答】解：画出树状图：
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解决本题的关键是画出树状图．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是 ①② ．
【分析】证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，①②正确；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正确；求出△ABC的面积＝AB2＝，得菱形ABCD的面积＝，④不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠OAD＝60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，
∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FHC＝∠B，
故①正确，②正确；
∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，
故③△ADO≌△ACH不正确；
∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，
∴△ABC的面积＝AB2＝，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，
故④不正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本题共75分）
16．（12分）请选择合适的方法解下列方程：
（1）3x2+5x﹣1＝0；
（2）x2﹣4x＝95；
（3）（2x﹣5）2＝（x﹣2）2；
（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）利用直接开平方法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，
∴△＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，
则x＝＝；
（2）∵x2﹣4x＝95，
∴x2﹣4x+4＝95+4，即（x﹣2）2＝99，
则x﹣2＝，
∴x＝2；
（3）∵（2x﹣5）2＝（x﹣2）2，
∴2x﹣5＝x﹣2或2x﹣5＝2﹣x，
解得x＝3或x＝；
（4）∵2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（8分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．
（1）小丽被派往急诊科的概率是 ；
（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）小丽被派往发热门诊的概率；
故答案为：；
（2）小丽、小王和两个同事分别用A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下：
由上可知；一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，
则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
【分析】（1）根据根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得；
（2）取m＝3，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，
解得m＞且m≠﹣1；
（2）取m＝3，
此时方程为4x2+6x＝0，
整理为2x（2x+3）＝0，
∴2x＝0或2x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△AEH≌△CGF，得EH＝GF，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，即可得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，再证得该平行四边形的邻边相等即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EFGH是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．分两种情形讨论①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分别求解即可；
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，由四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，推出PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．
（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；
（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．
【分析】（1）仿照案例，构造面积是（x+x+4）2的大正方形，由它的面积为4×15+4，可求出大正方形的边长2，此题得解．
【解答】解：（1）如图，
图中大正方形的面积是（x+x+4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×15+42＝76，据此易得x＝﹣2．
（2）能，画出图形如图，
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
23．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．
（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系： BG＝CF ，位置关系： BG⊥CF ；
（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．
【分析】（1）由SAS证明△FAC≌△BAG，得出BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，证得∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，即可得出结论；
（2）连接FC、BG、FB、GC，证得O1D是△BCF的中位线，O2D是△CBG的中位线，根据三角形中位线定理可得O1D＝O2D，O1D⊥O2D，即可得出结论；
（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，证得∠FAM＝180°﹣∠FAB﹣∠BAC＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到FC的长，再根据（2）中结论即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABEF和四边形AGHC是正方形，
∴AF＝AB，AC＝AG，∠FAB＝∠CAG＝90°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAG，
在△FAC和△BAG中，
，
∴△FAC≌△BAG（SAS），
∴BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，
∵∠AQF＝∠BQP，
∴∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，
∴BG⊥CF，
故答案为：BG＝CF，BG⊥CF；
（2）△DO1O2是等腰直角三角形，理由如下：
连接FC、BG、FB、GC，如图2所示，
由（1）得：FC＝BG，FC⊥BG，
∵O1是正方形ABEF的中心，
∴O1是BF的中点，
∵D是BC的中点，
∴O1D是△BCF的中位线，
∴O1D＝FC，O1D∥FC，
同理可得：O2D是△CBG的中位线，
∴O2D＝BG，O2D∥BG，
∴O1D＝O2D，O1D⊥O2D，
∴△DO1O2为等腰直角三角形；
（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，如图3所示，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝6，∠FAB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠FAM＝180°﹣∠FAB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴MF＝AF＝3，AM＝cs30°×AF＝＝，
∴MC＝MA+AC＝，
∴FC＝＝＝，
∴O1D＝FC＝，
∴O1O2＝O1D＝．