人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案

5.5.2　简单的三角恒等变换

必备知识基础练

1.已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan的值为(　　)

A．3  B．－3

C.   D．－

2．已知2π<θ<3π，cos θ＝m，则sin＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

3．函数y＝cos2＋sin2－1(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

4.函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]  B．[－，]

C．[－1,1]  D.

5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的值域是________．

6．化简：(1)(cos x－sin x)；

(2)3sin x＋3cos x.

7.函数y＝cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)＝2sin的一个单调递增区间是(　　)

A.  B.

C.  D.

8．在△ABC中，求证：tantan＋tantan＋tantan＝1.

9．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

关键能力综合练

一、选择题

1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A.        B.

C．－  D．－

2．若2sin x＝1＋cos x，则tan的值等于(　　)

A.    B.或不存在

C．2  D．2或

3．设a＝cos  6°－sin  6°，b＝2sin  13°cos  13°，c＝，则有(　　)

A．c<b<a  B．a<b<c

C．a<c<b  D．b<c<a

4．sin＝，则cos＝(　　)

A．－  B．－

C.      D.

5．若cos α＝－，α是第三象限角，则的值为(　　)

A．－  B.　

C．2    D．－2

6．(易错题)设函数f(x)＝2cos2x＋sin  2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　　)

A．4    B．－6

C．－4  D．－3

二、填空题

7．化简的结果是________．

8．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin  θ－24＝0，则cos＝________.

9．函数y＝sin2x＋sin  xcos  x＋1的最小正周期是________，单调递增区间是________．

三、解答题

10．(探究题)证明：··＝tan.

学科素养升级练

1．(多选题)对于函数f(x)＝sin x＋cos x，给出下列选项其中不正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于点对称

B．存在α∈，使f(α)＝1

C．存在α∈，使函数f(x＋α)的图象关于y轴对称

D．存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立

2．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．

3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．

答案

必备知识基础练

1．解析：∵3π<θ<，sin θ＝－，

∴cos θ＝－＝－，

∵3π<θ<，∴<<.

则tan＝－＝－＝－3.

答案：B

2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.

答案：A

3．解析：y＝＋－1＝＝sin 2x，是奇函数．故选A.

答案：A

4．解析：f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，

所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.

答案：B

5．解析：∵f(x)＝2＝2sin.

∴f(x)∈[－2,2]．

答案：[－2,2]

6．解析：(1)(cos x－sin x)＝×

＝2＝2cos.

(2)3sin x＋3cos x＝6

＝6＝6cos.

7．解析：y＝cos2ωx－sin2ωx＝cos 2ωx(ω>0)，

因为函数的最小正周期为π，故＝π，所以ω＝1.

则f(x)＝2sin＝2sin.

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，函数的一个单调递增区间是.

答案：B

8．证明：∵A，B，C是△ABC的三个内角，

∴A＋B＋C＝π，从而有＝－.

左边＝tan＋tantan

＝tantan＋tantan

＝tantan＋tantan

＝1－tantan＋tantan

＝1＝右边，

∴等式成立．

9.

解析：设∠AOB＝α，则0<α<，△OAB的周长为l，

则AB＝Rsin  α，OB＝Rcos  α，

∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin  α＋Rcos  α

＝R(sin  α＋cos  α)＋R

＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<.

∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，

此时，α＋＝，即α＝，

即当α＝时，△OAB的周长最大．

关键能力综合练

1．解析：若5π<θ<6π，则<<，则sin＝－＝－＝－.

答案：D

2．解析：由已知得＝，tan＝

＝＝＝.

当x＝π＋2kπ，k∈Z时，tan不存在．

答案：B

3．解析：由题意可知，a＝sin  24°，b＝sin  26°，c＝sin  25°，而当0°<x<90°，y＝sin  x为增函数，∴a<c<b，故选C.

答案：C

4．解析：cos＝2cos2－1.

∵＋＝，

∴cos＝sin＝.

∴cos＝2×2－1＝－.故选A.

答案：A

5．解析：由cos α＝－，α是第三象限角，可得sin α＝－＝－.

所以＝＝＝＝－.

答案：A

6．解析：f(x)＝2cos2x＋sin  2x＋a＝1＋cos  2x＋sin  2x＋a

＝2sin＋a＋1.

当x∈时，2x＋∈，

∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.

∴a＝－4.

答案：C

7．解析：＝

＝＝|sin 1＋cos 1|，

因为1∈，所以sin 1>0，cos 1>0，

则＝sin 1＋cos 1.

答案：sin 1＋cos 1

8．解析：由25sin2θ＋sin  θ－24＝0，

又θ是第二象限角，

得sin θ＝或sin  θ＝－1(舍去)．

故cos θ＝－＝－，

由cos2＝得cos2＝.

又是第一、三象限角，

所以cos＝±.

答案：±

9．解析：y＝sin2x＋sin  xcos  x＋1＝＋＋1

＝sin＋.

最小正周期T＝＝π.

令－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

答案：π　，k∈Z

10．证明：左边＝··

＝·＝·

＝＝＝tan＝右边．

所以原等式成立．

学科素养升级练

1．解析：函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，

对于A：函数f(x)＝2sin，当x＝时，2sin＝2，不能得到函数f(x)的图象关于点对称．∴A不对．

对于B：α∈，可得α＋∈，f(α)∈(，2]，不存在f(α)＝1.∴B不对．

对于C：函数f(x＋α)的对称轴方程为：x＋α＋＝＋kπ，可得x＝kπ＋－α(k∈Z)，当k＝0，α＝时，可得图象关于y轴对称．∴C对．

对于D：f(x＋α)＝f(x＋3α)说明2α是函数的周期，函数f(x)的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，∴D不对．故选A，B，D.

答案：ABD

2．解析：∵A＋B＝，

∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B)

＝1＋(cos 2A＋cos 2B)＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)

＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)，

∴当cos(A－B)＝－1时，

原式取得最大值；

当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.

答案：　

3.

解析：如图所示，

设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin  α，ON＝cos  α，OM＝＝DM＝CN＝sin  α，

所以MN＝ON－OM＝cos  α－sin  α，

即AB＝cos  α－sin  α，而BC＝2CN＝2sin  α，

故S矩形ABCD＝AB·BC＝·2sin  α

＝2sin αcos  α－2sin2α＝sin  2α－(1－cos  2α)

＝sin  2α＋cos  2α－＝2－

＝2sin－.

因为0<α<，所以0<2α<，<2α＋<.

故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，

此时S矩形ABCD＝2－.