高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案，共10页。
第2课时　单调性与最值 必备知识基础练知识点一正、余弦函数的单调性1.下列函数，在上是增函数的是(　　)A．y＝sin x   B．y＝cos xC．y＝sin 2x  D．y＝cos 2x2．函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)A.    B．[－π，0]C.  D.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.       知识点二三角函数值的大小比较4.下列关系式中正确的是(　　)A．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°5．比较下列各组数的大小．(1)cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.      知识点三正、余弦函数的值域、最值6.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)A．－1,3  B．－1,1C．0,3    D．0,17．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．8．求下列函数的值域：(1)y＝sin，x∈；(2)y＝cos2x－4cos x＋5.     关键能力综合练一、选择题1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)为奇函数2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)A．y＝sin  B．y＝cosC．y＝sin   D．y＝cos3．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)A．最大值为1，最小值为－1B．最大值为1，最小值为－C．最大值为2，最小值为－2D．最大值为2，最小值为－15．(易错题)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)A.  B.C.     D.6．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于(　　)A．－3  B．－2C．－1  D．－二、填空题7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．8．函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．9．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.三、解答题10．(探究题)求函数y＝cos2x＋4sin x的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．       11．设函数f(x)＝asin＋b.(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．       学科素养升级练1．(多选题)对于函数f(x)＝，下列四个结论正确的是(　　)A．f(x)是以π为周期的函数B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)D．当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤2．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)A.   B.C．2π  D．4π3．(学科素养—逻辑推理)设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．  
答案必备知识基础练1．解析：对于函数y＝cos 2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，故y＝cos 2x的单调递增区间是(k∈Z)，当k＝0时为，故选D.答案：D2．解析：∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.令k＝0得≤x≤.又∵⊆∴函数f(x)＝sin的一个递减区间为.故选D.答案：D3．解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sin的单调递增、递减区间，是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.4．解析：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由函数y＝sin x的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：C5．解析：(1)∵cos＝cos，cos＝cos＝cos，而0<<<，且y＝cos x在上单调递减，∴cos>cos.即cos>cos.(2)∵sin 194°＝sin(90°＋104°)＝cos 104°，而0°<104°<160°<180°，且y＝cos x在[0，π]上单调递减．∴cos 104°>cos 160°.即sin 194°>cos 160°.6．解析：∵x∈R，∴x∈R，∴y＝cosx的值域为[－1,1]．∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值－1.答案：A7．解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．答案：4kπ＋(k∈Z)8．解析：(1)因为0≤x≤，所以0≤2x≤π，所以－≤2x－≤.令2x－＝t，则原式转化为y＝sin t，t∈，由y＝sin t的图象知－≤y≤1，所以所求函数的值域为.(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]．关键能力综合练1．解析：因为f(x)＝sin＝－cos x，所以T＝2π，故A项正确；因为y＝cos x在上是减函数，所以y＝－cos x在上是增函数，故B项正确；因为f(0)＝sin＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C项正确；f(x)＝－cos x是偶函数，故D项错误．答案：D2．解析：因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.答案：A3．解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.答案：C4．解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，∴sin∈，故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.答案：D5．解析：解法一　y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.解法二　函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.答案：D6．解析：∵＋＝，∴y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos，∴ymin＝－1.答案：C7．解析：∵1＜＜2＜3＜π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y＝sin x在上递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，∴sin(π－3)＜sin 1＜sin(π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2.答案：sin 3＜sin 1＜sin 28．解析：根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝π＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，所以令y＝0，即sin＝0，所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．答案：x＝π＋(k∈Z)　(k∈Z)9．解析：∵x∈，即0≤x≤，且0＜ω＜1，∴0≤ωx≤＜.∵f(x)max＝2sin＝，∴sin＝，＝，即ω＝.答案：10．解析：函数y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.∴ymax＝4，此时x的取值集合是；ymin＝－4，此时x的取值集合是.11．解析：(1)由于a>0，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，≤2x＋≤，则≤sin≤1，由f(x)的值域为[1,3]知，解得或解得综上得或学科素养升级练1．解析：函数f(x)＝的最小正周期为2π，画出f(x)在一个周期内的图象，可得当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)＝cos x，当2kπ＋<x≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)＝sin x，可得f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，f(x)>0，f(x)的最大值为f＝，可得0<f(x)≤，综上可得，正确的有CD.故选CD.答案：CD2．解析：作出y＝sin x的一个简图，如图所示，∵函数的值域为，且sin＝sin＝，sin＝－1，∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，故可得，最大值与最小值之和为2π.答案：C3．解析：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤，因为k∈N*，∴k＝2或k＝3.