人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念导学案

5.2.2　同角三角函数的基本关系

必备知识基础练

1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)

A．tan α＝－      B．cos  α＝－

C．sin α＝－  D．tan α＝

2．若sin α＝，且α是第二象限角，则cos α等于(　　)

A．－  B.

C．±  D．±

3．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.

4．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求：

(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin3α＋cos3α.

5．已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)sin2α＋cos2α.

6.化简(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α  B．cos α

C．1＋sin α  D．1＋cos α

7．化简：.

8．求证：＝.

关键能力综合练

一、选择题

1．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)

A.   B．－

C.  D．－

2．若α是三角形的内角，且sin  α＋cos  α＝，则此三角形是(　　)

A．钝角三角形  B．锐角三角形

C．直角三角形  D．等边三角形

3．已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)

A.  B．±

C.  D．－

4．化简的结果为(　　)

A．sin 1－cos 1  B．cos 1－sin 1

C．sin 1＋cos 1  D．－sin 1－cos 1

5．已知＝－，那么的值是(　　)

A.   B．－

C．2  D．－2

6．若cos α＋2sin α＝，则tan α＝(　　)

A.      B．2

C．－  D．－2

二、填空题

7．若α是第三象限角且cos  α＝－，则sin  α＝________，tan α＝________.

8．已知cos  α＝－，且tan α>0，则＝________.

9．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.

三、解答题

10．已知tan α＝2，求下列代数式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.

学科素养升级练

1．(多选题)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)

A．θ∈  B．cos θ＝－

C．tan θ＝－  D．sin θ－cos θ＝

2．在△ABC中，sin  A＝，则角A等于(　　)

A.  B.

C.  D.

3．(学科素养—逻辑推理)求证：

(1)－＝sin α＋cos α；

(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．

答案

5．2.2　同角三角函数的基本关系

必备知识基础练

1．解析：由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos  α<0，sin  α>0，故B正确．

答案：B

2．解析：由α是第二象限角，得cos α＝－＝－＝－.

答案：A

3．解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－<0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈，故sin α－cos α＝＝，可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

答案：－

4．解析：(1)由sin α＋cos α＝，

平方得2sin αcos α＝－，∴sin αcos α＝－.

(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，

∴sin α－cos α＝±.

又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈，

∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝.

(3)∵sin3α＋cos3α

＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)

＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，

由(1)知sin αcos α＝－，且sin α＋cos α＝，

∴sin3α＋cos3α＝×＝×＝.

5．解析：(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝＝－.

(3)原式＝＝＝＝.

6．解析：(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.

答案：A

7．解析：原式＝

＝＝

＝＝1.

8．证明：左边＝

＝

＝＝＝右边．

∴原等式成立．

关键能力综合练

1．解析：因为α是第四象限角，tan α＝－，所以＝－.

又sin2α＋cos2α＝1.所以sin α＝－.故选D.

答案：D

2．解析：将sin  α＋cos  α＝两边平方，

得1＋2sin αcos  α＝，即2sin  α·cos  α＝－.

又α是三角形的内角，所以sin  α>0，cos  α<0，

所以α为钝角．

答案：A

3．解析：由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝＝＝＝.

答案：C

4．解析：易知sin 1>cos 1，所以＝＝sin 1－cos 1.故选A.

答案：A

5．解析：因·＝＝－1，故＝.

答案：A

6．解析：解法一　由

解得所以tan α＝＝2.

解法二　∵cos α＋2sin α＝，∴(cos α＋2sin α)2＝5，则＝5，即＝5，

∴＝5，解得tan α＝2.

解法三　设tan α＝＝t，则sin α＝tcos α，代入题设cos α＋2sin α＝，得sin α＝，cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2.

解法四(秒杀解)　注意到本题中的勾股数为(1,2，)，因此可以用

代入条件式验证，注意到＋2×＝，因此有所以tan α＝＝2.

答案：B

7．解析：∵α是第三象限角且cos  α＝－，

∴sin  α＝－＝－；

∴tan α＝＝.

答案： －　

8．解析：由cos  α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin  α＝－，

故原式＝＝＝sin α(1＋sin α)＝×＝－.

答案：－

9．解析：∵0<α<，∴<α＋<，

∴sin>0，

∴sin＝＝.

答案：

10．解析：(1)原式＝＝.

(2)原式＝

＝＝＝.

学科素养升级练

1．解析：∵sin θ＋cos θ＝，①

∴(sin θ＋cos θ)2＝2即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝

∴2sin θcos θ＝－

∵θ∈(0，π)

∴sin θ>0，cos θ<0

∴θ∈

∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝

∴sin θ－cos θ＝，②

①加②得sin θ＝

①减②得cos θ＝－

∴tan θ＝＝＝－

综上可得，正确的有ABD.

答案：ABD

2．解析：由题意知cos  A>0，即A为锐角．

将sin  A＝两边平方得2sin2A＝3cos  A，

∴2cos2A＋3cos  A－2＝0，

解得cos A＝或cos  A＝－2(舍去)．

∴A＝.

答案：C

3．证明：(1)左边＝－

＝－＝－

＝－＝＝sin α＋cos α＝右边．

∴原式成立．

(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，

右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α

∴左边＝右边，∴原式成立．