高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案

5.1.1　任意角  同步练习

必备知识基础练

1.下列命题正确的是(　　)

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

2．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是(　　)

A．120°  B．－120°

C．270°  D．－270°

3．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了________度，分针转了________度.

4.－2 019°是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角 C．第三象限角  D．第四象限角

5．下列各对角中，终边相同的是(　　)

A．270°和k·360°－270°(k∈Z)

B．－36°和792°

C．－140°和220°

D．1 200°和2 440°

6．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)

A．第一或第二象限    B．第二或第三象限

C．第一或第三象限    D．第二或第四象限

7.终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　)

A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}  B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}  D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}

8．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．

9．已知，如图所示．

(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

关键能力综合练

一、选择题

1．下列说法中，正确的是(　　)

A．第二象限的角都是钝角

B．第二象限角大于第一象限的角

C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合

D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)

2．与600°角终边相同的角可表示为(　　)

A．k·360°＋220°(k∈Z)  B．k·360°＋240°(k∈Z)

C．k·360°＋60°(k∈Z)   D．k·360°＋260°(k∈Z)

3．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝k·90°，k∈Z}

4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)

A．90°－α    B．90°＋α

C．360°－α    D．180°＋α

5．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z

C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

6．(易错题)已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　)

A．第一象限角        B．第一或第二象限角

C．第一或第三象限角  D．第一或第四象限角

二、填空题

7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．

8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．

9．(探究题)若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．

三、解答题

10．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；

(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．

学科素养升级练

1．(多选题)下列四个选项正确的有(　　)

A．－75°角是第四象限角   B．225°角是第三象限角

C．475°角是第二象限角   D．－315°是第一象限角

2．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是________．

3．(学科素养—运算能力)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

答案

必备知识基础练

1．解析：终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．

答案：C

2．解析：分针旋转形成的角是负角，故所求分针旋转形成的角是(－360°)×＝－270°.

答案：D

3．解析：由题意可知，时针按逆时针方向转了10×＝5°，分针按逆时针方向转了10×＝60°.

答案：5°　60°

4．解析：－2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限角．

答案：B

5．解析：若两角的终边相同，则两角需相差k·360°(k∈Z)，经验证，220°＝360°＋(－140°)，故选C.

答案：C

6．解析：由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角．

答案：D

7．解析：因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．

答案：D

8．解析：观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．

答案：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}

9．解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

关键能力综合练

1．解析：A错误，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．

答案：D

2．解析：与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.

答案：B

3．解析：终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.

答案：D

4．解析：特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．

答案：C

5．解析：∵α与β的终边关于x轴对称，∴β＝2k·180°－α，k∈Z.

∴α＋β＝2k·180°，k∈Z.故选C.

答案：C

6．解析：因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，α为第三象限角．故选C.

答案：C

7．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，

又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.

答案：－1 030°

8．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.

答案：120°，300°

9．解析：由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，

则＝20°＋k·120°(k∈Z)，

则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°.

答案：20°，140°，260°

10．解析：(1)因为α为第三象限角，

所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，

则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，

所以90°－α的终边在第三象限．

(2)由于α为第四象限角，

即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，

所以∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．

当k＝2n，n∈Z时，∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，是第四象限角；

当k＝2n＋1，n∈Z时，∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，是第二象限角．

综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限．

学科素养升级练

1．解析：对于A：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B：如图2所示，225°角是第三象限角；对于C：如图3所示，475°角是第二象限角；对于D：如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD.

答案：ABCD

2．解析：解法一(并集法)　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.

所以α∈{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．

解法二(旋转法)　观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．

答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}

3．解析：由题意可知，

α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，

α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β都是锐角，∴

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.