2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级（上）第一次月考数学试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例的性质，用同一未知数表示出各数是解题关键．
2．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．
【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．
3．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝BC＝5，则DE的长为（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】根据已知条件得到AB＝8，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝3，BD＝5，
∴AB＝8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：8＝DE：5，
∴DE＝，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．
4．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AC＝8cm，BD＝6cm，则DE＝（ ）
A．5cmB．2cmC． cmD． cm
【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边AB上的高DE的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，
∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5cm，
∴DE＝＝cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
5．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．7m2C．8m2D．9m2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得x＝7．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
6．（3分）线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可．
【解答】解：设MP＝x，则PN＝1﹣x，根据题意得，
解得x＝或＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣＝．
故选：C．
【点评】应识记黄金分割的定义：C是AB上一点，且AC：BC＝BC：AB，那么C点就是AB的黄金分割点．
7．（3分）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【分析】由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有625个人患新冠，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，
解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】由矩形的性质可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，勾股定理可求BE的长是本题的关键．
9．（3分）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（ ）小时它就会进入台风影响区．
A．10B．7C．6D．12
【分析】首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
【解答】解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE＝40x千米，BB′＝20x千米，
∵BC＝500km，AB＝300km，
∴AC＝400（km），
∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，
∴AE2+AB′2＝EB′2，
即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，
解得：x1＝15，x2＝7，
∴轮船经7小时就进入台风影响区．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
10．（3分）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（ ）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①△BEC≌△AFC （SAS），正确；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，正确；③因为∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EM∥BC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AF∥EM，则＝＝．故④正确，
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝60°，
∵BE＝AF，BC＝AC，
∴△BEC≌△AFC （SAS），正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确；
④过点E作EM∥BC交AC于点M，
易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，
∵AF∥EM，
∴则＝＝．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝ ．
【分析】连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB＝，再根据四边形ABCO是矩形，即可得出对角线AC的长．
【解答】解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是矩形的性质，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键．
12．（3分）不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．（3分）在△ABC和△DEF中，若，且△ABC的周长等于6，则△DEF的周长等于 18 ．
【分析】根据三条边对应成比例的两个三角形相似，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可得△DEF的周长．
【解答】解：∵，
△ABC∽△DEF，
根据相似三角形周长的比等于相似比可知：
△ABC的周长等于6，
则△DEF的周长等于6×3＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 ．
【分析】如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB＝NC＝，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP＝，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
【解答】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝，
∴BF＝﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN＝EC＝，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP＝，
∵MP+BP＝MB，
∴，解得，
∴BP＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 或1 ．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，
由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF＝CD＝4，
设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝，即AP＝；
如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，
过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
解得FQ＝，QE＝，
∴AQ＝HF＝，AH＝，
设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝1，即AP＝1．
综上所述，AP的长为1或．
【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题（共7大题，75分）
16．（12分）解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0（用配方法解）．
（2）5x+2＝3x2．
（3）（2x+3）2＝（x﹣1）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x+）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（3）先移项得到（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+x＝，
x2+x+＝+，
（x+）2＝，
x+＝±，
所以x1＝，x2＝；
（2）3x2﹣5x﹣2＝0，
（x﹣2）（3x+1）＝0，
x﹣2＝0或3x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣；
（3）（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，
（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，
2x+3+x﹣1＝0或2x+3﹣x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
17．（9分）“停课不停学，一中在护航”，疫情期间，老师们利用各种直播软件为孩子们进行答疑解惑，给孩子们提供了全方位的帮助和指导，网课的展开也让各种直播软件逐渐进入了大家的视野，初二年级学生会就同学们对各种直播软件的喜爱度展开了调查，随机抽取了部分师生和家长的问卷，并将结果绘制成了不完整的统计图1，图2，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）这次调查中，一共抽取了 200 人的问卷；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为 144° ；
（3）某班被抽的部分问卷中，学生有5人，3名男生，2名女生，现打算从这5名学生中任意抽取2名学生进行电话采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到男女生各一名的概率．
【分析】（1）由“其他软件”的人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）根据各直播方式的人数之和等于总人数求出“钉钉直播”人数，从而补全条形图，用360°乘以样本中“钉钉直播”人数所占比例即可得；
（3）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
答：这次调查中，一共抽取了200人的问卷；
故答案为：200；
（2）钉钉直播的人数为200﹣（40+60+20）＝80（人），
补全条形图如下：
扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：144°；
（3）根据题意画图如下：
由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 1.5 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 3 时，四边形AMDN是菱形．
【分析】（1）求出△DNE≌△AME，根据全等及时向的性质得出NE＝ME，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可；
②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可．．
【解答】（1）证明：∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠DNE＝∠AME，
在△DNE和△AME中
，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴NE＝ME，
∵AE＝DE，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
∵由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
19．（9分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．
（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．
∵12﹣4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
（2）∵m≤3且m≠2，
∴m＝1或3，
∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键．
20．（12分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（12分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE•DF＝7.5
∴（10﹣t）•t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
22．（12分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为 AC＝BD ；
②∠AMB的度数为 45° ；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．
【分析】【操作发现】如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题．
【类比探究】如图（2），证明△COA∽△ODB，可得＝＝，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题．
【实际应用】分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，
∵∠MKA＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝45°，
故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°
【类比探究】如图（2）中，
在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，
∴＝，
∴△COA∽△DOB，
∴＝＝，∠MAK＝∠OBK，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
【实际应用】如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．
在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，
∴∠CEH＝60°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HCE＝30°，
∴EH＝EC＝，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝，
∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝4．
如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H．
同法可得BH＝，EH＝，
∴BE＝+＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝5．
综上所述，AD的长为4或5．
男1
男2
男3
女1
女2
男1

男1男2
男1男3
女1男1
女2男1
男2
男1男2

男3男2
女1男1
女2男2
男3
男1男3
男2男3

女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1

女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2