初中数学冀教版八年级上册16.3 角的平分线练习题

16.3角的平分线同步练习冀教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，点O到三边的距离相等，，则

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在中，，于点D，和的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，，则

A.  B.  C.  D.

3. 到三角形三边的距离相等的点是

A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条中线的交点
C. 三角形三条角平分线的交点 D. 不存在这个点

4. 如图，在中，，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，连接AE，若AE平分，，则CE的长为

A. 8
B. 6
C. 4
D. 2

5. 如图所示，点O在直线AB上，OE平分，，则与的关系是

A. 相等
B. 互余
C. 互补
D. 无法确定

6. 如图，点A，B分别是，平分线上的点，于点E，于点C，于点D，则以下结论错误的是

A.
B.
C. 与互余的角有2个
D. 点O是CD的中点
 

7. 如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接以下说法错误的是

A. 是等腰三角形
B. 点E到OA、OB的距离相等
C. CD垂直平分OE
D. 证明射线OE是角平分线的依据是SSS
 

8. 如图，点P是的平分线上一点，于B，且，，则的面积是

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法中正确的个数是
   三角形三条高线的交点叫做三角形的重心；
   三角形具有稳定性；
   在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
   有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
   等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10. 如图，已知AC平分，于E，于F，且若，，，CF的长为

A. 8
B.
C. 9
D. 7

11. 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于  

A.  B.             
C.  D.

12. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，连接下列结论：；：：AB；垂直平分CE；其中，正确的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，中，，，AD是角平分线，AE是高，则______
    
     

14. 如图，BF平分，反向延长射线BF，与的平分线DG相交于点P，若，则          
    
     

15. 如图，已知，P是平分线上一点，，交OA于点C，，垂足为点D，且，则PD等于______．
16. 如图，在中，，AD平分，，，则的面积是______．
    
     

17. 如图，AD是的角平分线，，垂足为点F，若和的面积分别为50和30，则的面积为______．
    
     

18. 如图，点P是的角平分线OC上一点，于点N，点M是线段ON上一点，
    已知，，点D为OA上一点，若满足，则OD的长度为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上．
    探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．
    探讨线段BE与CE之间的位置关系．

20. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，求的度数．

21. 如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，平分，FN平分，且求证：．
    
     

22. 已知OM是的角平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．
    如图，当，时，则PC与PD的数量关系是______．
    如图，点C、D在射线OA、OB上滑动，且，，当时，PC与PD在中的数量关系还成立吗？说明理由．

23. 如图，四边形ABCD的对角线于点E，，F为四边形ABCD外一点，且，．
    求证：四边形DBFC是平行四边形；
    如果BC平分，，，求AC的长．

24. 如图，在中，AE平分，F为AE上一点，且于点D．
    当，时，求的度数；
    若，，请结合的计算猜想、、之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；用含有、的式子表示
    如图，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．

25. 同学们，数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的知识可以帮助我们解决许多实际问题．如王明想建一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A，B，同时又有相交的两条公路CD，EF，为方便进货和居民生活，王明想把超市建在到两居民区的距离相等，同时到两公路距离也相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助王明在图上确定超市的位置请用尺规作图确定超市点P的位置．作图不写作法，但要求保留作图痕迹
    分析：先将实际问题转化为数学问题，把超市看作一个点．
    点P到A，B两点的距离相等，根据性质：______，需用尺规作出______；又点P到两相交直线CD，EF的距离相等，根据性质：______，需用尺规作出______；而点P同时满足上述两个条件，因此应该是它们的交点．
    请同学们先完成分析过程即填空，再作图；
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，
为的三内角平分线的交点，
，，
，
，
，
，
故选：B．
根据角平分线的逆定理求出O是三角形的角平分线的交点，再利用三角形内角和等于180度求解．
本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，能得出O为的三内角平分线的交点是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：，F为边AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
，
和的角平分线相交于点E，
，
，
，
故选C．
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到是等边三角形，进而得到，根据和的角平分线相交于点E，即可得出，即可得到．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】【试题解析】

解：是线段AB的垂直平分线，，
，
平分，
，
即，
．
平分，，
，
，，
，
，
，
故选：D．
先由线段垂直平分线的性质及求出，再由AE平分可得出，由三角形内角和定理即可求出的度数，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，进而得出CE即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

5.【答案】B
 

【解析】解：，
，，
和互余，
平分，
，
，
和互余，
故选：B．
根据：求出，，根据余角定义得出和互余，根据角平分线的定义得出，求出，即可得出答案．
本题考查了余角与补角和角平分线的定义，能求出和互余、是解此题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：点A，B分别是，平分线上的点，
，，
，
，故A选项结论正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B选项结论正确；
与互余的角有，，，共4个，故C选项结论错误；
，
点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：A、根据作图得到，
是等腰三角形，正确；
B、根据作图可知：OE是的平分线，
点E到OA、OB的距离相等，正确；
C、连接CE、DE，
，，
是CD的垂直平分线，
但CD不是OE的垂直平分线，
错误；
D、根据作图得到、．
在与中，
，
≌，
，即射线OE是的平分线，正确；
本题选择错误的结论；
故选：C．
根据作图得到，判断A确；
根据角平分线的性质得：点E到OA、OB的距离相等，判断B正确；
根据作图不能得出CD平分OE，判断C错误；
连接CE、DE，根据作图得到、，利用SSS证得≌从而证明得到射线OE平分，判断D正确．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形，从作图语句中提取正确信息是解题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：过P作于D，
点P是的平分线上一点，于B，
，
，
故选A．
根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，错误；
三角形具有稳定性，错误；
在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，正确；
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，正确；
等腰三角形的顶角角平分线，底边中线、高线互相重合，简称三线合一，错误．
故选：A．
应该是中线的交点；
正确；
角平分线的判定；
正确；
必须是等腰三角形的顶角角平分线，底边中线、高线互相重合，简称三线合一．
本题考查了三角形重心、稳定性、全等的判定、角平分线的判定，掌握这些性质定理的熟练应用，特别注意词语的严密性是解题关键．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：平分，于E，于F，
，，
在和中，
，
≌；
，，
又在和中
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
又，
在中，根据勾股定理可得．
故选：A．
由角平分线的定义及所给条件，利用AAS可证明≌，进而得到≌，可得，再由，可证得，利用线段和差可求得BE、AF，在中，利用勾股定理可求得CF．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

过点O作于点E，于点F，于点D，则有，进而可得、、的面积之比即为底之比，然后问题可求解．

【详解】

解：过点O作于点E，于点F，于点D，如图所示：

是三条角平分线的交点，

，

，，，长分别是20，30，40，

；

故答案选．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．

12.【答案】D
 

【解析】解：平分，PB平分，
，，
，
，
；故正确；
过P作于M，于N，于S，
，
平分，
：：：AB；故正确；
，BP平分
垂直平分三线合一，故正确；
，

平分，
，
，故正确．
故选：D．

利用角平分线的性质以及已知条件对进行一一判断，从而求解．
此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等．
 

13.【答案】40
 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，AE是BC边上高线，
，
．
故答案为：40．
根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查角的平分线，平行线的性质．
延长DC与直线AB、PF分别交于M、N，根据角平分线的定义可知，，利用两直线平行，同旁内角互补可知，结合三角形的内角和为得到，整理各角度关系可得结论．
【解答】
解：延长DC与直线AB、PF分别交于M、N，

平分，DG平分
，，
设，


即

又







．
故答案为：．  

15.【答案】2
 

【解析】解：作于E，
，
，
是平分线上一点，
，
，
，
是平分线上一点，，，
，
故答案为：2．
作于E，根据三角形的外角的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的性质解答；
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】12
 

【解析】解：作于E，如图，
平分，，，
，
．
故答案为12．
作于E，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，过点D作于H，
是的角平分线，，
，
在和中，，
≌，
，设面积为S，
同理≌，
，
即，
解得．
故答案为10．
过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为S，然后根据列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】3或5
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．过点P作于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得，即可求，由题意可证≌，可求OD的长．
【解答】
解：如图：过点P作于点E，
平分，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
；
若点D在线段OE上，
在和中，，
≌


若点D在射线EA上，
在和中，，
≌，
，
；
故答案为3或5．

19.【答案】解：；理由如下：
延长BE交CD延长线于F，如图所示：
，
，
，
平分，CE平分，
，，
，
，
，
平分，
，
在与中，，
≌，
，，
，
，
在与中，，
≌，
，
；
；理由如下：
，
，
，
平分，CE平分，
，，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识；证明并作出辅助线是解题的关键．
证出，由平行线的性质可得，又BE、CE都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明≌，得到，，然后证明≌，得出即可；
证出，由平行线的性质可得，又BE、CE都是角平分线，可以推出，从而得到即可．
 

20.【答案】解：与是对顶角，
，
平分，
，
，
，
，
．
 

【解析】依据对顶角的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，再根据垂线的定义，即可得到的度数．
本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
又平分，FN平分，
，，
，
．
 

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的定义和平行线的性质与判定．
根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出．
 

22.【答案】解：，
证明：过点P点作于E，于F，如图，

，
是的平分线，
，
，，
，
而，
，
在和中，
≌，
．
 

【解析】

【分析】
根据角平分线性质可知；
过点P点作于E，于F，根据垂直的定义得到，由OM是的平分线，根据角平分线的性质得到，利用四边形内角和定理可得到，而，则，然后根据“AAS”可判断≌，根据全等的性质即可得到．
本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
【解答】
解：是的平分线，
角平分线上点到角两边的距离相等，
故答案为；
见答案．  

23.【答案】证明：，，．
，，
四边形DBFC是平行四边形；

解：四边形DBFC是平行四边形，
，
，，
，
作于F，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
 

【解析】由这一点就证出，，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
由平行四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，作于F，则，证出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，得出，即可得出AC的长．
本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
平分，
，
由三角形的外角性质得，，
；
，理由如下：
由三角形的内角和定理得，，
平分，
，
由三角形的外角性质得，，
，
，
即
，，
；
结论仍然成立．
同可证：，
，

．
 

【解析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算，即可得解；
根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解；
结论仍然成立．根据可以得到，根据对顶角相等即可求得，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，要注意整体思想的利用．
 

25.【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等  线段AB的垂直平分线  角平分线上的点到角两边的距离相等  的角平分线
 

【解析】解：点P到A，B两点的距离相等，根据性质是：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
需用尺规作出线段AB的垂直平分线；
点P到两相交直线CD，EF的距离相等，根据性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；需用尺规作出的角平分线，
点P为的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
如图所示：

故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，线段AB的垂直平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，的角平分线．
连接AB，先画出角的平分线，然后再画出线段AB的中垂线．这两条直线的交点即为点P的位置．
本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键．