初中数学冀教版八年级上册17.2 直角三角形同步测试题

这是一份初中数学冀教版八年级上册17.2 直角三角形同步测试题，共31页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。


17.2直角三角形同步练习冀教版初中数学八年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：
①AD平分∠CDE，
②∠BAC=∠BDE，
③DE平分∠ADB，
④BE+AC=AB，
其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，EG⊥BC于点G，连接AG、FG.下列结论：①AE=GE；②△AEF为等腰三角形；③△DFG为等腰直角三角形；④AG=BF
其中正确结论的个数是(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是(    )
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
4. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD，CE交于点F，连接AF.下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C； ②∠AEF=∠AFE； ③∠EBC=∠C；④AG⊥EF.正确结论有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①∠DAE=∠CBE；②CE⊥DE；③BD=AF；④△AED为等腰三角形；⑤S△BDE=S△ACE，其中正确的有(    )
A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③⑤
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=90°，下列结论：

①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF．
其中正确的是(    )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
8. 如图，一块等腰直角三角形三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，那么旋转角的大小是(    )
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 180°
9. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出三个结论：
①AE=2BD；②AB−AC=CE；③CE=2FC；
其中正确的结论有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是(   )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
11. 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是(    )
A. 9∘ B. 18∘ C. 27∘ D. 36∘
12. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，最短边BC= 4 cm，则最长边AB的长是(    )
A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8 cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 平面直角坐标系xOy中有四点A(−2,0)，B(−1,0)，C(0,1)，D(0,2)在A、B、C、D中取两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰直角三角形的概率是______．
14. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为______．



15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=70°，AF平分∠CAB，交BC于点D，过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为          ．



16. 在Rt△ABC中，锐角∠A=37°，则另一个锐角∠B=______．
17. 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4.以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为______．
18. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，把△ABD沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接CE，若∠DBE=15°，则∠ADC的度数为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19. 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．
(1)求证：AE=BD；
(2)求证：AE⊥BD．











20. (1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为______，AE、BD所在直线的位置关系为______；
(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则BD的长为______。








21. 综合与实践
问题情境
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE；
探究发现
(1)善思组发现：△ACD≌△BCE，请你帮他们写出推理过程；
(2)钻研组受善思组的启发，求出了∠AEB度数，请直接写出∠AEB等于______度；
(3)奋进组在前面两组的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为______(请直接写出结果)；
拓展探究
(4)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系．
创新组类比善思组的发现，很快证出△ACD≌△BCE，进而得出AD=BE.请你写出CM，AE，BE之间的数量关系并帮创新组完成后续的证明过程．







22. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)求证：DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？并说明理由．








23. 如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°．

(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；
(2)延长CD至E，使DE=BC，连接AE，如图2，那么△ACE是何种形状的三角形？请你写出结论，并给出证明．







24. 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F.求证：AD=BF；
(2)如图2，点D在线段BC上，连接AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交AC于F，连接DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DBBC的值．








25. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
(1)求证：AC=CD；
(2)若AC=AE，求∠DEC的度数．








答案和解析
1.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD≌△AED是本题的关键．
由“AAS”可证△ACD≌△AED，可得CD=DE，AC=AE，∠CDA=∠ADE，可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③．
【解答】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，且∠C=∠DEA=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)，
∴CD=DE，AC=AE，∠CDA=∠ADE，
∴AD平分∠CDE，AB=AE+BE=AC+EB，
∴①④正确，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，且DE⊥AB，
∴∠B=∠BDE=45°，
∴∠BAC=∠BDE，∠ADE=67.5°≠∠BDE，
∴②正确，③错误，
故选：C．  
2.【答案】D

【解析】解：∵BF平分∠ABC，∠BAC=90°，EG⊥BC
∴AE=EG，故①符合题意，
∵AE=EG，BE=BE
∴Rt△ABE≌Rt△GBE(HL)
∴AB=BG，∠AEB=∠BEG，
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD//EG，
∴∠AFE=∠BEG=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，故②符合题意，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD，∠DAC=∠C=45°，
∵AB=BG，AE=EG，
∴BE是AG的垂直平分线，
∴AF=FG，且AE=EG，EF=EF，
∴△AEF≌△GEF(SSS)
∴∠AFE=∠GFE=∠FEG=∠AEF，
∴AE//FG，
∴∠DFG=∠DAC=45°，∠DGF=∠C=45°，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG，且∠ADC=90°，
∴△DFG是等腰直角三角形，故③符合题意，
∵BD=AD，∠ADB=∠ADG，DF=DG，
∴△BDF≌△ADG(SAS)
∴BF=AG，故④符合题意；
故选：D．
利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理一一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE=BC，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．
故选：B．
根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴EC=BD，∠BDA=∠AEC，故①正确
∵∠DOF=∠AOE，
∠DFO=∠EAO=90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM=AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE=45°，故④正确，
若③成立，则∠AEF=∠ABD=∠ADB，推出AB=AD，显然与条件矛盾，故③错误，
故选：C．
如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N.证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

5.【答案】C

【解析】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD(对顶角相等)，
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

6.【答案】D

【解析】解：①∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
故①正确
②在△DAE和△CBE中，
AE=BE∠DAE=∠CBEAD=BC，
∴△ADE≌△BCE(SAS)；
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
∠BDE=∠AFE∠BED=∠AEFAE=BE，
∴△AEF≌△BED(AAS)，
∴BD=AF；
故③正确；
④∵AE≠DE，
∴△ADE不是等腰三角形，
⑤∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故⑤正确；
故选：D．
①由等腰直角三角形的性质可得出结论；
②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；
③证明△AEF≌△BED即可；
④AE≠DE，故④不正确；
⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

7.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．证明△BDE≌△ADF即可一一判断．
【解答】
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，
∵∠BDA=∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠B=∠DAF=45°，
∴△BDF≌△ADF(ASA)，故③正确，
∴BE=AF，DE=DF，
∴AE=CF，△DEF是等腰直角三角形，故①②正确，
∴BE+CF=BE+AE=AB≠EF，故④错误，
故选：C．  
8.【答案】C

【解析】解：∵三角板ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∵在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，
∴∠A′CB′=∠ACB=45°，∠ACA′等于旋转角，
∵点A、C、B′三点共线，
∴∠ACB′=180°，
∴∠ACA′=180°−∠A′CB′=135°，
即旋转角为135°．
故选：C．
由等腰直角三角形的性质得∠ACB=45°，再根据旋转的性质得∠A′CB′=∠ACB=45°，∠ACA′等于旋转角，由于点A、C、B′三点共线，则∠ACB′=180°，即可得出∠ACA′=180°−∠A′CB′=135°．
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．

9.【答案】D

【解析】解：①延长BD、AC交于点G，如图1，

∵AD⊥BD，AD平分∠CAB，
∴BD=GD，AG=AB，
∵AC⊥BC，
∴∠CAE+∠CEA=∠DEB+∠DBE=90°，
∴∠CAE=∠DBE，
在△CAE和△CBG中，
∠ACE=∠BCGCA=CB∠CAE=∠CBG,
∴△CAE≌△CBG(ASA)，
∴AE=BG=2BD，CE=CG，故①正确；
②过点E作EH⊥AB于H，如图2，

∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴BH=CE，
∴AB−AC=CE，故②正确；
③如图1，
∵DF⊥AC，
∴DF//BC，
∵BD=DG，
∴CF=FG，
∴CE=2FC，故③正确．
故选D．
注意到AD具备“两种功能”：角平分线、垂线；因此，延长BD、AC交于点G，则三角形ABG就是等腰三角形，从而AB=AG，BD=DG，三个判断不言而喻．
本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一、中位线等知识点，难度适中．解答本题的突破口是发现AD是“三线”，如果有某条线既是角平分线又是垂线，那么以这条线为对称轴一定“隐藏”着一个等腰三角形，通过辅助线把等腰三角形暴露出来，问题往往可以迎刃而解．

10.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键。
【解答】
解：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°
∴∠CAD=∠B
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°
∴∠ADF=∠BDE
在△ADF和△BDE中，
∠CAD=∠B，AD=BD，∠ADF=∠BDE
∴△ADF≌△BDE(ASA)故③正确；
∴DE=DF、BE=AF
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB−BE，CF=AC−AF
∴AE=CF  故②正确；
∵BE+CF=AF+AE>EF
∴BE+CF>EF  故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③
故选C  
11.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．根据直角三角形的两个角互余即可求解．
【解答】
解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x=90，
解得：x=18°．
故选：B．  
12.【答案】D

【解析】∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180∘，
解得x=30∘，则∠A=30∘，
∴∠C=3×30∘=90∘，∠B=2×30∘=60∘，
∴△ABC为直角三角形．
作出Rt△ABC如图所示，取AB的中点D，连结CD．

∴CD=12AB=BD，
∴∠DCB=∠B=60∘，∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC=4 cm，
∴AB=2BD=2×4=8 cm，故选D．

13.【答案】12

【解析】解：如图，在A、B、C、D中取两点与点O为顶点作三角形一共可作4个三角形，
其中所作三角形是等腰直角三角形的有2个，
∴P(所作三角形是等腰直角三角形)=24=12，
故答案为：12．
根据题意得到在A、B、C、D中取两点与点O为顶点作三角形一共可作4个三角形，其中所作三角形是等腰直角三角形的有2个，如何根据概率公式即可得到结论．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】12.5

【解析】解：∵AD=AD，且∠DAB=90°，
∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE．
∴∠ABE=∠D，AC=AE．
根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°
∴∠ABE+∠ABC=180°．
∴C、B、E三点共线．
所以△ACE是等腰直角三角形．
∵四边形ABCD面积=△ACE面积，
∴12×AC2=12.5．

根据已知线段关系，将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE，证明C、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．
本题主要考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行选择，使不规则图形转化为规则图形．

15.【答案】25°

【解析】
【分析】
本题考查三角形的内角和定理，解题关键掌握三角形内角和定理及直角三角形两个锐角互余．
先根据角平分线定义求出∠CAD=∠BAD=12∠CAB=45∘，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB及∠ACE，再通过∠ECD=∠ACE−∠BCA求解．
【解答】
解：∵∠CAB=90∘，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=45∘，
∵CE⊥AD，
∴∠ECA=90∘−∠CAE=45∘，
∵∠BCA=90∘∠B=20∘，
∴∠ECD=∠ACE−∠BCA=25∘，
故答案为：25∘．
  
16.【答案】53°

【解析】解：在Rt△ABC中，锐角∠A=37°，则另一个锐角∠B=53°，
故答案为：53°
根据直角三角形的性质中两个锐角互余解答．
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形中两个锐角互余解答．

17.【答案】45或8或210

【解析】解：①当AD为斜边时，如图1，

∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵AB=4，
∴AB=CD，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE，AE=EC，
∴AE=EC=2，
由勾股定理得：BE=42+22=25，
∴BD=45，
②当CD为斜边时，如图2，则AD=AC=4，∠DAC=90°，

∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°+90°=180°，
∴B、A、D共线，
∴BD=AB+AD=4+4=8，
③当AC为斜边时，如图3，

∴∠ADC=90°，
∴AD=CD=AC2=22，
∵∠BCA=45°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
∵AB=AC=4，
由勾股定理得：BC=42+42=42，
BD=BC2+CD2=(42)2+(22)2=210，
综上所述：BD=45或8或210．
故答案为45或8或210．
分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD=2BE，求BE的长即可；②当CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD的斜边长．
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，也考查了复杂的几何作图；复杂的几何作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；本题利用等腰直角三角形边和角的特殊性与勾股定理、全等三角形相结合，求出边的长．

18.【答案】75°或105°

【解析】解：
如图1，当∠ADC为锐角时，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DBE=15°，
∴∠ABE=45°+15°=60°，
由折叠可知：
AB=AE，∠BAD=∠EAD，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=75°．
如图2，
当∠ADC为钝角时，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DBE=15°，
∴∠ABE=45°−15°=30°，
由折叠可知：
AB=AE，∠BEA=∠EBA=30°，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠BAE=120°，
∴∠BAD=∠EAD=60°，
∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=105°．
综上：∠ADC的度数为75°或105°．
故答案为75°或105°．
根据已知条件分两种情况画出图形，即可求解．
本题考查了翻折变换、等腰直角三角形，解决本题的关键是不要漏掉第二种情况．

19.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACD，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，AC=BC∠DCB=∠ECACD=CE，
∴△DCB≌△ECA(SAS)，
∴∠A=∠B，BD=AE
(2)证明：∵∠AGD=∠BGC，∠B+∠BGC=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠AFG=90°，
∴AE⊥BD．

【解析】(1)证明△DCB≌△ECA(SAS)，推出∠A=∠B，BD=AE；
(2)由∠AGD=∠BGC，∠B+∠BGC=90°推出∠A+∠AGD=90°，可得∠AFG=90°，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：(1)结论：AE=BD，AE⊥BD；
理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC，CD=CE
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD
∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH
∴∠BOH+∠CBD=90°
∴∠AHB=90°
∴AE⊥BD
故答案为AE=BD；AE⊥BD；
(2)结论：AD=2CM+BD；
理由：如图2中，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC，CD=CE
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°
∴∠ADB=∠BDC−∠CDE=135°−45°=90°
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME
∴DE=2CM
∴AD=DE+AE=2CM+BD
(3)情形1：如图3−1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，



∵以AC为直角边作等腰直角△ACD
∴AC=AD，∠CAD=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴BD=CE
∵AE=AB=7
∴BE=72+72=72，∠ABE=∠AEB=45°
又∵∠ABC=45°
∴∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°
∴EC=BC2+BE2=(72)2+32=107
∴BD=CE=107
情形2：如图3−2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，
同法可证：△EAC≌△BAD(SAS)
∴BD=CE
∵AB=AE=7
∴BE=72
∴EC=BE−CB=72−3
综上所述，BD的长为107或72−3。
故答案为107或72−3。

【解析】(1)结论：AE=BD，AE⊥BD。如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；
(2)结论：AD=2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；
(3)分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。

21.【答案】60  CD//BE

【解析】(1)证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∴∠CDA=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CEA=60°，
故答案为：60；
(3)解：∵∠CDE=∠AEB=60°，
∴CD//BE，
故答案为：CD//BE；
(4)解：AE=BE+2CM，
理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，DM=ME，
∴DE=2CM，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
(1)根据等腰直角三角形的性质得到CA=CB，CD=CE，结合图形得到∠ACD=∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；
(2)根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠CDA=120°，根据等边三角形的性质、结合图形计算，得到答案；
(3)根据内错角相等、两直线平行解答；
(4)根据直角三角形的性质得到DE=2CM，证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22.【答案】证明：(1)∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
(2)DE=AD−BE，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC−CD=AD−BE．

【解析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB(AAS)，依据全等三角形的性质可得到AD=CE，CD=BE，然后由ED=DC+CE可得到问题的答案；
(2)与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，最后由CE=CD+DE可得到问题的答案．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．

23.【答案】证明：(1)∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，

(2)△ACE是等腰直角三角形，证明如下：
∵∠ADC+∠ADE=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠ABC=∠ADEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
即△ACE是等腰直角三角形．

【解析】(1)由∠ABD=∠ADB=45°，得出AB=AD，∠BAD=90°，可得∠BCD=90°，则结论可证；
(2)证出∠ABC=∠ADE，由SAS证得△ABC≌△ADE得出∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，则△ACE是等腰直角三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：如图1中，

∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF=∠BCF=90°，
∵∠AFE=∠CFB，
∴∠DAC=∠CBF，
∵BC=CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF=AD．

(2)结论：BD=2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．

∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，
∴∠DAC=∠AEH，∵AD=AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD=AH，EH=AC=BC，
∵CB=CA，
∴BD=CH，
∵∠EHF=∠BCF=90°，∠EFH=∠BFC，EH=BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH=CF，
∴BC=CH=2CF．
(3)DBBC=23．

【解析】
【分析】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
(2)结论：BD=2CF.如图2中，作EH⊥AC于H.只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
(3)利用(2)中结论即可解决问题；
【解答】
解：(1)(2)见答案；
(3)如图3中，同法可证BD=2CM．

∵AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，
∴DBBC=2a3a=23．  
25.【答案】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ABC和△DEC中，∠1=∠D∠3=∠5BC=EC,
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC=CD；
(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠2=∠D=45°，
∵AE=AC，
∴∠4=∠6=67.5°，
∴∠DEC=180°−∠6=112.5°．

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
(1)根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论；
(2)根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠2=∠D=45°，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=67.5°，由平角的定义得到∠DEC=180°−∠6=112.5°．