初中数学冀教版八年级上册17.3 勾股定理课后练习题

17.3勾股定理同步练习冀教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是

A. 1，4，5
B. 2，3，5
C. 3，4，5
D. 2，2，4

2. 如图，在中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且，垂足为点F，设，，，则下列关系式中成立的是

A.
B.
C.
D.

3. 在中，，，，于D，则CD长为

A. 4 B.  C.  D.

4. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是

A. 如果，那么 是直角三角形
B. 如果：：：2：3，那么 是直角三角形
C. 如果 ：：：16：25，那么 是直角三角形
D. 如果 ，那么 是直角三角形且

5. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为

A.
B.
C.
D.

6. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

7. 下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是

A. ，， B. ，， C.  D. ，，

8. 三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为

A. 164
B. 36
C. 8
D. 6

9. 等腰的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为

A. 10 B. 12 C. 15 D. 20

中、、的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是．A. 如果，则是直角三角形
B. 如果，则是直角三角形，且
C. 如果，则是直角三角形
D. 如果，则是直角三角形

10. 如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则                         

A. 2
B. 12
C. 2
D. 20

11. 如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，且，一只蚂蚁从A点出发，沿正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中最有可能经过的点是   

A. P
B. Q
C. R
D. S

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

12. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，，，则阴影部分的面积是______．

13. 如图，在中，，，，点D在边BC上，，联结如果将沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为______．
14. 如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结若BD的长为，则m的值为______．
     

15. 如图，P是等腰内的一点，，，，，的度数是______．
    
     

16. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的长为______．
     

17. 已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为______度．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

18. 如图，中，，，D是BC边上一点，且，若求DC的长．
    
     

19. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，，，．
    请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．
    请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：．

20. 一副直角三角板如图放置，，，，
    求BC的长；
    求AD的长．

21. 【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．
    图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为______、______；
    你能得出的a，b，c之间的数量关系是______等号两边需化为最简形式．
    【知识应用】一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______．
    【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式
    如图表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，以因式分解形式写出一个代数恒等式

22. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．
    
    如图，在中，，，若是“匀称三角形”．
    请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
    求BC：AC：AB的值．
    如图，是的内接三角形，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，AD与交于点M，若是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为的“匀称中线”．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，中，AB的垂直平分线l交AB于E，交AC于，，，
    求证：是直角三角形；
    求AB长．
    
     

24. 如图，中，，，．
    设点P在AB上，若求AP的长；
    设点M在AC上．若为等腰三角形，求AM的长．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：设，，
，BE分别是BC，AC边上的中线，
点F为的重心，，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
得，
，
得，
即．
故选：A．
设，，根据三角形重心的性质得，，利用勾股定理得到，，，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了勾股定理．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
即，
，
解得：，
故选：B．
根据勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，能根据三角形的面积关系得出是解此题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：A、如果，由，可得，那么 是直角三角形，选项正确；
B、如果：：：2：3，由，可得，那么 是直角三角形，选项正确；
C、如果 ：：：16：25，满足，那么 是直角三角形，选项正确；
D、如果 ，那么 是直角三角形且，选项错误；
故选：D．
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：连接BP，

由对称性得：，
是AP的中点，
，
长的最大值为，
长的最大值为，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作轴于D，
，
，
在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
舍或，
，
点B在反比例函数的图象上，
；
故选：C．
作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：A、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：由勾股定理得，，
即面积为A的正方形的边长，
故选：D．
根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：
是高，，
，，
根据勾股定理得：，
故选：A．
根据等腰三角形性质求出BD，在中，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了等腰三角形性质和勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，等腰三角形底边上的高平分底边．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定方法有：求得一个角为，利用勾股定理的逆定理．
【解答】
解：根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；
B. 解得应为度，故错误；
C. 化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故正确；
D. 设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则是直角三角形，故正确．
故选B  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的知识，先利用正方形的面积公式分别求出正方形、的边长即AC、BC的长，在中，已知AC、BC的长，利用勾股定理求斜边AB．
【解答】
解：，
，
，
，
在中，，
故可得：；
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：如图所示：一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是R点．
故选：C．
根据立方体的展开图中从A点到C点最短路径共3种距离相同，进而画图得出答案．
此题主要考查了平面展开图的最短路径，正确掌握立方体的性质是解题关键．
 

13.【答案】256
 

【解析】解：由勾股定理得，，
四边形ABFD为正方形，
，
阴影部分的面积，
故答案为：256．
根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，过点E作于首先证明是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．
【解答】
解：如图，过点E作于H．

，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
到直线BD的距离为，
故答案为．  

15.【答案】2或
 

【解析】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
是等边三角形，
点B在AC的垂直平分线上，
垂直平分AC，
设垂足为E，
，
，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述，m的值为2或，
故答案为：2或．
由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．正确的作出图形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，将绕C点顺时针旋转，与重合，连结．

≌，，
，，，
是等腰直角三角形，且，
，，
在中，，，，
，
是直角三角形，，
，
，
故答案为．
如图，将绕C点顺时针旋转，与重合，连结可求，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

17.【答案】5
 

【解析】解：将绕点A逆时针旋转得到，
，，
，
，
故答案为：5．
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练旋转的性质是本题的关键．
 

18.【答案】90
 

【解析】解：，
三角形为直角三角形，
这个三角形的最大内角度数为，
故答案为：90
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

19.【答案】解：过点A作于点E，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，，
，即，
，
．
又，
，
．
 

【解析】过点A作于点E，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出BE的长，即，结合可求出DC的长．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．
 

20.【答案】解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
中，，，，，则有．
，
，
，
整理得：．
 

【解析】本题考查勾股定理，勾股定理的证明等知识，解题的关键是学会用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合图形用式子表示即可．
用两种方法求出梯形BCFG的面积，列出等式，即可证明．
 

21.【答案】解：，，，
；
，，
，
，
．
 

【解析】根据含角的直角三角形的性质即可得到结论；
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，含角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】      17
 

【解析】解：图中阴影部分的面积为：
大正方形的面积四个直角三角形的面积．
小正方形的面积．
故答案为、．
．


故答案为．
直角三角形的两条直角边长为8和15，
，，
故答案为17．
根据题意，得
图左边的图形体积为
右边的图形的体积为．
．
答：恒等式为．
阴影部分的面积可以用小正方形的面积表示，也可以用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；
令中所得代数式相等通过分解因式，即可得a，b，c之间的数量关系；
把已知两条直角边长代入中所得等量关系即可求解；
根据正方体和长方体的体积即可写出代数恒等式．
本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、勾股定理的证明，解决本题的关键是综合运用相关知识．
 

23.【答案】解：如图，作的三条中线AD、BE、CF，

，
，即CF不是“匀称中线”．
又在中，，即AD不是“匀称中线”．
“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
设，则，，
在中，
，
在中，，
：AC：．
由旋转可知，，
，，
是“匀称三角形”．
由知：AC：AD：：2：，
设，则，，
如图，过点C作，垂足为H，则，

，
，
，
解得，舍去，
，
判断：CM不是的“匀称中线”．
理由：假设CM是的“匀称中线”．
则，，
，
又在中，，，，
，即，
这与相矛盾，
假设不成立，
不是的“匀称中线”．
 

【解析】作的三条中线AD、BE、CF，由“匀称中线”的定义可判断“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线；设，则，，在中，可求出BC、AB，则BC：AC：AB的值可求出；
由知：AC：AD：：2：，设，则，，过点C作，垂足为H，则，由三角形ABC的面积可解出a的值，判断：CM不是的“匀称中线”．
本题是圆的综合题，考查了新定义、旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积、三角函数的定义、反证法等知识，解题的关键是理解“匀称中线”的定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．
 

24.【答案】证明：连结BD．

的垂直平分线l交AC于D，
，
，
，
在中，，，，
，
，
是直角三角形；

解：在中，，
．
 

【解析】连接BD，先根据线段垂直平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理可得结论；
根据勾股定理求出AB即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
；
当时，为等腰三角形，
；
当，时，为等腰三角形，
过B作于H，
，
，
；
当时，为等腰三角形，
连接BM，
设，则，
，
解得：，
，
综上所述，若为等腰三角形，AM的长为10，7，．
 

【解析】根据勾股定理得到，设，根据勾股定理即可得到结论；
当时，为等腰三角形，当，时，为等腰三角形，过B作于H，当时，为等腰三角形，连接BM，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．