数学九年级上册25.5 相似三角形的性质练习题

25.5相似三角形的性质同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：：2，则与的周长比为

A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 4：9

3. 如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，于点G，若，则的周长为

A. 16
B. 17
C. 24
D. 25

4. 如图，在中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列四个结论，其中错误的结论是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC边上，，垂足为若，则线段EF的长为

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

7. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则

A. 30
B. 25
C.
D. 20

8. 如图，在中，，高，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为

A. 15
B. 20
C. 25
D. 30

9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：：3，连结EF交DC于点G，则：

A. 2：3
B. 3：2
C. 9：4
D. 4：9

10. 在中，，AE：：3，则：的值为

A. 4：9
B. 4：21
C. 4：25
D. 4：5

11. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，CE，BF交于点G，连接AG，则

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在中，，，点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且，，、、的面积分别记为S、、若，则______．

14. 如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，交BC的延长线于点E，若，，则CE的长为______．

15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于______．
    
     

16. 如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，若，，则______．
    
     

17. 已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为______．
     

18. 如图，在▱ABCD中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且．
    求证：∽；
    若，，，求FC的长．

20. 如图所示，，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知，，．
    求CM和EN的长；
    你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？

21. 小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，与恰好为对顶角，，连接BD，，点F是线段CE上一点．
    探究发现：
    当点F为线段CE的中点时，连接如图，小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？______填“是”或“否”
    拓展延伸：
    将中的条件与结论互换，即：，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
    问题解决：
    若，，求AD的长．

22. 如图，已知等腰中，，D、E、F分别为边BC、CA、AB上的点，
    求证：∽；
    若，，，，求AE的长．
    
     

23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且．
    求证∽；
    若，，且，求DF的长度．

24. 如图，已知在中，AD是的中线，，点E在边AD上，．
    求证：；
    求证：．

25. 如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．
    求证：∽．
    设，
    若，求线段BE的长；
    若的面积是20，求的面积．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故选：C．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，．
∽，
：：2，
：：：3，
：：3．
故选：C．
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
先计算出的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】
解：在▱ABCD中，，，的平分线交BC于点E，
，，
，
，
，
同理，
；
在中，，，，可得：，
，
的周长等于，
四边形ABCD是平行四边形，
∽，相似比为5：：2，
的周长为16．
故选：A．  

4.【答案】D
 

【解析】解：在中，点D、E分别是AB、AC的中点，
，，
；故A正确；
，
∽，
，
，故B、C正确；
和同高，所以面积之比等于底之比，
，故D错误；
故选：D．
根据三角形的中位线性质、相似三角形的判定和性质逐项分析即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质、此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
错误．通过计算证明，即可判断．
正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形ABCD是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
∽，故正确，
，
与不相似，故错误，
，
，
，
∽，
，
，故正确，
故选：C．  

6.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，，，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
证明∽，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：、E分别是AB、AC边上的中点，
，，
∽，
，
：：3，
即：：3，
，
．
故选：D．
先根据三角形中位线的性质，证得：，，进而得出∽，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
设正方形EFGH的边长，易证四边形EHDN是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】
解：设正方形EFGH的边长，
四边EFGH是正方形，
，，
∽，
是的高，
，
四边形EHDN是矩形，
，
∽，
，
，，
，
，
解得：，
．
故选：B．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义表示出CF是解题的关键．
先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设，
：：3，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
点F是BC的中点，
，
，
∽，
，
故选：D．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
，
，
故选：B．  

11.【答案】A
 

【解析】解：延长CE、BA交于P，

在和中
，
≌，
，
，
．
，
∽，
，
，
：：8．
故选：A．
延长CE、BA交于P，证明≌，可得，进而可以求证∽，可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在中，，，，
，
则，，
，
，
，
，
观察图象可知：时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

，
，
，
解得，
，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

，
，
，
，
，
，
观察图象可知：当或时，菱形的个数为0，当或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．
故选A．
求出几种特殊位置的AD的值判断即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
 

13.【答案】18
 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
故答案为18．
利用相似三角形的性质求出的面积即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】7
 

【解析】解：四边形ABCD为正方形，
，，
．
，
，
．
，
．
又，
∽，
，即，
，
．
，，
∽，
，即，
．
故答案为：7．
利用同角的余角相等可得出，结合可得出∽，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由，可得出∽，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出∽及∽是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
∽，
，
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知，
解得，
即阴影梯形的上底就是．
再根据相似的性质可知，
解得：，
所以梯形的下底就是，
所以阴影梯形的面积是
故答案为：．
根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
 

18.【答案】
 

【解析】解：设CD与EG交于点O，作于点H，
在▱ABCD中，，，
，
四边形ECGF是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
即，
当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当时，EO取得最小值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
根据题意和平行四边形的性质，可以得到，再根据相似三角形的性质得到，再根据垂线段最短即可求出OE的最小值，从而得到EG的最小值．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是找出OE与EG之间的关系，将求EG的最小值问题转化成求OE的最小值问题．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，．
，．
又，
．
∽；
∽，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
．
．
．
 

【解析】【试题解析】

本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出，．
由平行四边形的性质可知，所以，，又因为又，进而可证明：∽；
由可知：∽，所以，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算即可．

20.【答案】解：在中，，
是斜边AB的中线，
，
，
，即，
，
为斜边DF上的中线，
；
，相似比为，
相似三角形对应中线的比等于相似比．
 

【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可；
根据相似三角形的性质解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答．
 

21.【答案】解：是；
结论成立．
理由：，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
点F是EC的中点．
如图3中，取EC的中点G，连接则．

，
，
在中，，
，
在中，，
，，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】

【分析】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
证明可得结论；
结论成立：利用等角的余角相等证明，推出，再证明即可解决问题；
如图3中，取EC的中点G，连接则利用勾股定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】
解：如图中，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为是．
见答案；
见答案．  

22.【答案】解：，
；
又，
，
，而，
∽；
∽，
：：DC，
而，，，
，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质得到；求得，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据相似三角形的性质得到BD：：DC，代入数据即可得到结论．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
 

23.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，．
，，
，
∽；
由知：∽

，，
，
又，
，
解得．
 

【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定即可求出答案．
易证∽，根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及平行四边形的性质，本题属于中等题型．
 

24.【答案】证明：，
，
，，
，

∽；
，
，
；
，，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知相等角，等腰三角形底角的外角相等，证明三角形相似．
先利用等腰三角形的性质，由得到，则可根据等角的补角相等得到，加上，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断∽，进一步证明；
由及公共角相等证明∽，利用相似比即可得到结论．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
解：，
，
，
，
解得：；
，
，
，
∽，
，
．
 

【解析】由平行线的性质得出，，即可得出结论；
由平行线的性质得出，即可得出结果；
先求出，易证∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．