初中数学冀教版九年级上册26.1 锐角三角函数课后测评

26.1锐角三角函数同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，则   

A.
B.
C.
D.

2. 在中，，，则下列结论正确的是   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，，，则的值是   

A. 2 B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，则下列结论中正确的是   

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，，，则的值是   

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，若，，则cosB的值是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则

A.
B.
C.
D.

8. 已知，在中，，若，，则AB长为

A. 6 B.  C.  D.

9. 在中，，，，则sinB的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为的中位线，下列结论，，  ，  其中正确结论的个数是    

A. 4个 B. 3个 C. 2 D. 1个

11. 在中，，，，sinA的结果是     

A.  B.  C.  D.

12. 在中，，，，则cosB的值为 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在中，，，，点D是AC的中点，，垂足为E，那么          ．
    
     

14. 如图，在平面直角坐标系中有一点，那么OP与x轴的正半轴的夹角的余弦值为          ．
    
    
    
     

15. 在直角三角形ABC中，若，则______．
16. 如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______
    参考数据：，，
17. 在中，若，则________．
18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，它与x轴所成的锐角为，且，则此一次函数表达式为_______________。
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 把记作，根据图完成下列各题．

          ，           ，          

观察上述等式猜想：在中，，总有          

如图，在中证明题中的猜想

已知在中，，且，求的值．

20. 如图所示，在中，，，于D，，求，的值．
    
     

21. 如图，在中，，D为AC上的一点，，求的三角函数值．
     

22. 如图，在中，，，，求的面积．
    
     

23. 如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．

求：点B的坐标；

的值．






 

24. 如图，在中，，D为AC上的一点，，求的三个三角函数值．
     

25. 我们知道：如图，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
    在图中，若，则AB的长为______cm；
    如图，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕试说明：G是AB的黄金分割点；
    如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点，连接BE，作，交AB于点F，延长EF、CB交于点他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解： 在中，，，，
， ．
故选C．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：在中，，故选D．
 

3.【答案】B
 

【解析】，，，
．
故选B．
 

4.【答案】D
 

【解析】在中，，，
设，，则，
故，故A选项错误
 ，故B选项错误
，故C选项错误
 ，故D选项正确．
故选D．
 

5.【答案】D
 

【解析】中，，，，
， 
．
故选D．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
故选：C．
根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于D，
由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．  

8.【答案】A
 

【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：A．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确画出直角三角形是解题关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：在中，，，，
，
，
故选：B．
根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用正弦的定义直接计算即可．
本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的中位线，由条件四边形ABCD是正方形可以得出，，，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，三角形面积的等积变换，平行线的性质就可以求出相应的结论．
【解答】
解：，
，
四边形ABCD是正方形，
，ADBC，
∽，
，
是BD的中点，G是DE的中点，
，
，
即，
故正确，
，，
∽，
，
，
，
即S，
故正确，
OG为的中位线，
，
，
，

即CD，
故错误；
过点B作，

，，
∽，
：：BE，
：：，
设，则，
在中，，
，

，
故正确．
故正确结论有3个，
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，是识记的内容．
根据三角函数的定义，，直接求解即可．
【解答】
解：，，，
．
故选B．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键，利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
【解答】
解：如图所示：

在中，，，，
，
则，
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】，，
，
在中，，，，
，
．
 

14.【答案】
 

【解析】如图，过点P作轴于H．

，
，，
 ，
．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：若，设，则，所以，所以；
若，设，则，所以，所以；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求cosC的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求cosC的值．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．
在中，由AC的长及的值可得出AB的长，即可解答．
【解答】
解：如图：

，，
，
木杆折断之前高度
故答案为．  

17.【答案】或
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确记忆相关数据是解题关键．根据题意分情况讨论：若，若，根据勾股定理分别求得BC，再由锐角三角函数余弦定义即可求得答案．
【解答】
解：若，
，
，
，
若，
，
，
，
综上所述：的值为或，
故答案为或．  

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，待定系数法求一次函数的解析式等有关知识，设一次函数表达式为，由，可得，再把代入，求出b的值即可．
【解答】

解：设一次函数表达式为，

，

．

把代入得，

，

，

．

故答案为：．

19.【答案】 ，

，

．

．

证明：在中，，，且， 
，
即．

在中，，，

，，

解得或舍，．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：因为，，，，

所以在中，，
所以在中，．
在中，．
在中，．

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：在中，，，

，

又，

，

则，

，

．

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：过点A作于点D．

在中，，．
在中，，
，
．
 

【解析】本题考查了锐角三角函数，三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到求线段BC的长度及线段AD的长度上来．作辅助线构造直角三角形ABD，利用锐角的正弦和余弦函数的定义求出AD和BD的长度，然后根据勾股定理求出DC的长度，最后根据三角形的面积公式求的面积即可．
 

23.【答案】解：如图所示，过B作轴，垂足为C，
 

 ，

，

在中，，   

点坐标为 

，

，

， 

在中，，

．

【解析】本题考查坐标与图形性质、锐角三角形函数的定义、勾股定理，进行逻辑推理能力和运算能力，还考查在平面直角坐标系中点的坐标的确定．
作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据“，”可以求出，再根据勾股定理求出OC的长，即可求出B的坐标．
根据点A的坐标求出OA的长，即可求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长，利用余弦的定义求出答案．
 

24.【答案】解：在中，，，
，
又，
，
则

，
 

，
 

．
 

【解析】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．在中由勾股定理求得，在中求得，再根据三角函数的定义求解可得．
 

25.【答案】解：
延长EA，CG交于点M，

四边形ABCD为正方形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
．
，
即，
，
是AB的黄金分割点；
当时，满足题意．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
又，
，
≌，
，
，
∽，
，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】解：点B为线段AC的黄金分割点，，
．
故答案为：．
见答案；
见答案．
由黄金分割点的概念可得出答案；
延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，，得出，则，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出，即，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质得出，证明∽，得出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．