初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形测试题

26.3解直角三角形同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一辆汽车沿一个倾斜角度数为的斜坡前进500米，则它上升的高度是   

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 如图，在中，，，，则等于   

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若，则BC的长是   

A. 10
B. 8
C.
D.

4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边，，，则点C到x轴的距离等于   

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，在中，，，AD是的平分线，已知，那么   

A. 6
B. 4
C.
D.

6. 在中，，若，，则斜边上的高等于

A. 5 B.  C.  D. 4

7. 如图，在中，，，，则AC的长为

A.
B.
C.
D. 2

8. 如图，在四边形ABCD中，，，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度

A.
B.
C.
D.

9. 如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为

A.
B.
C.
D. 4

10. 如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为

A.
B.
C. 1
D.

11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，则线段AB的长为

A.
B.
C. 5
D. 10

12. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，E为BC中点，则的值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，把3个边长均为1的正方形拼接成一排，则           ，          ，          ．

14. 如图，在中，，，，则          ，BC的长是          ．
     

15. 在中，，AD为BC边上的高，，，则BC的长为          ．
16. 课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图所示，当太阳光线与地面成角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为米，则旗杆AB的高度约是          米精确到米，
     

17. 如图所示，在四边形ABCD中，，，，连接AC，，若，则AD的长度是          ．
    
     

18. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，，垂足为E，连接若，则的值为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点C在FD的延长线上，，，，，，试求CD的长．

20. 在中，，根据下列条件解直角三角形参考数据：，

，
，．






 

21. 如图，在中，，，D是AB上的一点，连接DC，若，试求AC的长．
    
    
    
     

22. 如图，已知在中，，，延长边BA至点D，使，联结CD．
    求的正切值；
    取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．

23. 如图，在中，，，夹边BC的长为求的面积．
    
    
    
     

24. 如图，在中，，点F在BC上，，过点F作交AC于点E，且AE：：5，求BF的长与sinC的值．

25. 如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．
    求CD的长；
    若点M是线段AD的中点，求的值．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】设上升的高度为h米，
根据三角函数的概念，得，
所以．
故上升的高度为米
 

2.【答案】C
 

【解析】，，，
，
，
故选C．
 

3.【答案】D
 

【解析】，，
设，，
，
的垂直平分线EF交AC于点D，
，
，
，
，
，
故选D．
 

4.【答案】A
 

【解析】 如图，过点C作轴于E，

四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C到x轴的距离等于，
故选A．
 

5.【答案】B
 

【解析】由题意知，，
是的平分线，
，
．
故选B．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：如图所示，，CD即为斜边上的高，
在中，，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
，
故选：B．
如图所示，，CD即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，利用面积法求出CD即可．
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：过A作于D，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
过A作于D，则，根据已知求出，，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，

设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，过点D作，
由折叠可知：，
，

，
设，则，
由折叠性质可知，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
解得，
，，
在直角三角形EDM中，，
解得．
故选：B．
方法一，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，设，根据已知条件和翻折的性质可求m的值，再证明CD是的角平分线，可得，进而可得ED的长．方法二，过点D作，首先得到度，度，再根据平行线的性质可得到，设，由折叠性质可知，，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：C．
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：连接BC，
每个小正方形的边长均为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
故选：B．
根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断的形状，从而可以求得的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出的形状，利用锐角三角函数解答．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
根据菱形的性质得出，，，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形求出三角形的边长，然后利用勾股定理及其逆定理和三角函数即可解决问题．如图过A作于M，由于在边长为1的小正方形组成的网格中，的边长可以利用勾股定理求出，求出高AM和AE，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：过A作于M，

依题意得，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
又为BC的中点，
，
，
故选D．  

13.【答案】1

【解析】由题意可知，，
．
如图，过点C作于H，

由勾股定理得， ，的面积，
，解得，
则，
．
过点C作于N，
由勾股定理得，，
的面积，
，
解得，
则，
．
 

14.【答案】45

【解析】如图，过点A作于D，

，，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
 

15.【答案】5或7
 

【解析】有两种情况，点D在BC的延长线上，在中， ，
，解得，

点D在BC上，在中，，
，解得，
，
故BC的长为5或7．

16.【答案】
 

【解析】米．
 

17.【答案】10
 

【解析】在中，
，，
．
在中，．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，过点C作于点F，设，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
过点C作于点F，设，易证≌，从而可求出，，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点B作于点M，

在中，，，，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
为等腰直角三角形，
，
．

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：在中，，，，

，，．

，，
，
．

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：在中，，，
．
设，，则，
在中，，，
，
，
解得，
．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：过点C作，垂足为G，
，
，
在中，，设，则，，
，
，，
，
在中，；
过点C作，交BF的延长线于点H，则有∽，
又有E是AC的中点，可证≌，
，
由∽得：．
 

【解析】考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，作合适的辅助线将问题转化为已知是解决问题的关键．
作高构造直角三角形，设，表示出CG、AG、DG，再利用直角三角形的边角关系，求出正切值；
过点C作，交BF的延长线于点H，相似三角形、全等三角形，进而得出，将：转化为求即可．
 

23.【答案】解：如图，作于点D．

，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的面积是．
 

【解析】如图，作于点解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

24.【答案】解：过点A作，垂足为点D，

，
在中，，
，
，，
，
，，
，
，
：：5，，
，
，
在中，，
．
 

【解析】此题考查解直角三角形问题，关键是根据解直角三角形的计算解答．
过点A作，垂足为点D，利用锐角三角函数，求出AD，继而求出BD，BF的长，由，，可得，进而求出CF，CD，由勾股定理求出AC，即可求出sinC的值．
 

25.【答案】解：平分，，
，
在中，；
，，，
，
，
，
，
点M是线段AD的中点，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】求出，在中，由三角函数得出；
由三角函数得出，得出，证明≌，得出，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．