初中数学冀教版九年级上册第28章 圆28.4 垂径定理课后作业题

28.4垂径定理同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，AB为的弦，，，，则的半径为   

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

2. 如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于点D，且，，则的周长是

A.
B.
C.
D.

3. 下列语句中，正确的有

A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧相等
D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

4. 如图，在半径为的中，弦AB与CD交于点E，，，，则CD的长是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，AB，AC分别是的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为

A.
B. 4
C.
D.

6. 在中，直径，弦于点C，若OC：：5，则DE的长为

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

7. 如图，内接于，是边BC的中点，连接OE并延长，交于点D，连接BD，则的大小为

A.
B.
C.
D.

8. 往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为

A. 8cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 20cm

9. 如图，在中，半径OC垂直弦AB于D，点E在上，，，则半径OB等于

A. 1
B.
C. 2
D.

10. AB和CD是的两条平行弦，，，的半径为5，则AB与CD间的距离为

A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 3或4

11. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为

A. 10cm
B. 16cm
C. 24cm
D. 26cm

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，的直径AB垂直于弦CD，，则的度数是          ．
    
    
    
     

14. 某蔬菜大棚的剖面图如图所示，已知，，则大棚的高度CD约为          结果精确到．
15. 如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为______．
    
     

16. 已知的直径为10cm，AB，CD是的两条弦，，，，则AB与CD之间的距离为______cm．
17. 在半径为的中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，，则______．
18. 如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：；；；的最小值是10，上述结论中正确的个数是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，半径弦AB，垂足为点D，，求的半径．
    
    
     

20. 如图，O为两个同心圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE垂直于AB，垂足为E，若，，，求小圆的半径．
    
    
     

21. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且于点E，连接BE，BC，若，．
    
    求半圆的半径
    求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，，于点D，于点E．
    求证：；
    若，，求四边形DOEC的面积．
     

23. 如图，中直径弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．
    求证：；
    若，，求的半径．
    
     

24. 如图，AB是的直径，点C、D是上的点，且，AC分别与BD、OD相交于点E、F．

求证：点D为的中点；

若，，求DF的长；

若的半径为5，，点P是线段AB上任意一点，试求出的最小值．






 

25. 如图，线段AB是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．
    求的半径r的长度；
    求；
    直线BM交直线CD于点E，直线MH交于点N，连接BN交CE于点F，求的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，
，
在中，
．
故选B．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：是的直径，
，
，
∽，
，
，，

，
，
的周长是，
故选：A．
利用相似三角形的性质可得AB的长，利用周长公式可得结果．
本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A正确；
B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故B错误；
C、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C错误；
D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D错误；
故选A．
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．
此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；
圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点O作于点F，于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，
证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】
解：过点O作于点F，于G，连接OB、OD、OE，如图所示：

则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：C．  

5.【答案】C
 

【解析】解：为直径，
，
，
，
，
在中，．
故选：C．
先根据圆周角定理得，则利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．
根据题意画出图形，利用勾股定理求出DC，再利用垂径定理求出DE，即可得出答案．
【解答】
解：如图所示，

直径，
，
：：5，
，
，
，
故选：C．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】

解：连接CD，
，
，
是边BC的中点，
，
，
，
故选：B．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
，
，
的直径为52cm，
，
在中，，
，
故选：C．  

9.【答案】B
 

【解析】解：半径弦AB于点D，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
则半径OB等于：．
故选：B．
直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，正确得出是等腰直角三角形是解题关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：当AB、CD在圆心两侧时；
过O作交CD于E点，过O作交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
半径，弦，且，，
，，，E、F、O在一条直线上，
为AB、CD之间的距离
在中，由勾股定理可得：

，
在中，由勾股定理可得：

，
，
AB与CD的距离为7；
当AB、CD在圆心同侧时；
同可得：，；
则AB与CD的距离为：；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：C．
过O作交CD于E点，过O作交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：，，，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解、，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．
本题考查了垂径定理以及解直角三角形的运用，关键是根据题意画出图形，要注意有两种情况．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：如图：作于E，反向延长交CD于F，
，
，
，，，
，
水管水面上升了，
，
，
，
此时排水管水面宽为，
故选：C．
先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：如图，过O作于C，交于D，
，，
，
又，
中，，
．
故选：C．
首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
 

13.【答案】36
 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故答案为36．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，找出所在圆的圆心O，连接OD，
易知O、C、D三点共线，，

．
在直角三角形ACD中，
，
．
故答案为．

15.【答案】5
 

【解析】解：连接OC，
为的直径，，
，
设的半径为x，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为5，
故答案为：5．
连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
 

16.【答案】1或7
 

【解析】解：作于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点O在AB与CD之间时，；
当点O不在AB与CD之间时，；
综上所述，AB与CD之间的距离为1或7cm．
故答案为1或7．
作于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在AB与CD之间时，；当点O不在AB与CD之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
 

17.【答案】或或
 

【解析】解：作于E，于F，连结OD、OB，
则，，
如图1，

在中，，，
，
同理可得，
，
四边形OEPF为矩形，
，
，
；
如图2，

同理：；
如图3，

同理：；
故答案为：或或．
如图1，作于E，于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到，，根据勾股定理在中计算出，同理可得，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到，根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

18.【答案】3
 

【解析】解：，点E是点D关于AB的对称点，
，
，正确；
，正确；
的度数是，
的度数是，
只有当M和A重合时，，
，
只有M和A重合时，，错误；

做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时的值最短，等于DF长，
连接CD，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故答案是：3．
根据和点E是点D关于AB的对称点，求出，求出，即可判断；根据圆周角定理求出当M和A重合时即可判断；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断．
本题考查了圆周角定理，轴对称最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，连接AO，

半径弦AB，
，
，
，
设的半径为R，
，
，
在中，
，
即，
，
故的半径为10．

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：如图，连接OC．

，
，，
，
在中，
，，
且，
．
在中，
，，
且，
 cm，
小圆的半径为 cm．

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：，，
，
设半径为r，
则，
在中，
，
解得，
即半圆的半径为5．

为半圆O的直径，
，，
，
在中，
．

【解析】见答案．
 

22.【答案】证明：连接OC，
，
，又，，
；
解：，
，
，
，
，
，
的面积，
同理可得，的面积，
四边形DOEC的面积．
 

【解析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论；
根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

23.【答案】证明：如图，连接DI，
为的直径，且，
，
，，
点F是的中点，
，
是的内心，
，
，，
，
；
连接OD，
设的半径为r，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
，舍，
答：的半径是．
 

【解析】要证明，只要求得即可；
设的半径为r，根据勾股定理列方程得：，解方程可得结论．
本题考查了垂径定理，三角形的内心的性质，以及等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线是解题关键．
 

24.【答案】是的直径，
，
，
，
，
，
即点D为的中点；
解：，
，
而，
为的中位线，
，
；
解：作C点关于AB的对称点，交AB于P，连接OC，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点C和点关于AB对称，
，
，
作于H，如图，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
 

【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
证明OF为的中位线得到，然后计算即可；
作C点关于AB的对称点，交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到的最小值．
 

25.【答案】解：如图1中，连接OC．
，
，
在中，，，，
，
．

如图1中，连接OD．
，AB是直径，
，
，
，
，
．

如图2中，连接AM．
是直径，
，
，
，
，
，

∽，
，
，
相交弦定理，
．
 

【解析】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
在中，利用勾股定理即可解决问题；
只要证明，求出即可；
由∽，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．