2021学年30.5 二次函数与一元二次方程的关系当堂检测题

这是一份2021学年30.5 二次函数与一元二次方程的关系当堂检测题，共26页。试卷主要包含了0分），关于下列结论，其中，正确结论的个数是，【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。


30.5二次函数与一元二次方程的关系同步练习冀教版初中数学九年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x=−2.关于下列结论：①ab<0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c>0；④b−4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，其中正确的结论有(    )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=2.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，且x1 A. x1+x2<0
B. 4 C. b2−4ac<0
D. ab>0
3. 如图，直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点，则y=ax2+(b−k)x+c的图象可能是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴交于(0,2)，抛物线的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①a+c=b；②方程ax2+bx+c=0的解为−1和3；③2a+b=0；④c−a>2，其中正确的结论有(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列四个选项正确的是(    )
A. b>0，c<0，△>0
B. b<0，c<0，△>0
C. b>0，c>0，△>0
D. b<0，c>0，△<0

6. 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(−3,−6)，有以下结论：
①当a>0时，b2>4ac；②当a>0时，ax2+bx+c≥−6；③若点(−2,m)，(−5,n)在抛物线上，则m 其中正确的是(    )
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②④
7. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n>0.以下结论正确的是(    )
①abc>0；
②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x=−2处的函数值相等；
③函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点；
④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在−3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
−2
−2
n
…
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=−1，与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0)，其中00；②−30；⑤已知图象上点A(4,y1)，B(1,y2)，则y1>y2.其中，正确结论的个数有(    )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10. 已知二次函数y=(x−a−1)(x−a+1)−3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<−1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(    )
A. a<2 B. a>−1 C. −1 11. 二次函数y=x2+bx−t的对称轴为x=2.若关于x的一元二次方程x2+bx−t=0在−1 A. −4≤t<5 B. −4≤t<−3 C. t≥−4 D. −3 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c中x和y的值如下表(    )
x
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
y
−5.6
−3.1
−1.5
0.9
1.8
则ax2+bx+c=0的一个根的范围是(    )
A. 0.10 C. 0.12 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若函数y=(a+1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．
14. 二次函数y=x2−6x+m(m是常数)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根是______．
15. 已知二次函数y=ax2−2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是______．
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有______．
①abc>0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3
③2a+b=0
④当x>0时，y随x的增大而减小
17. 在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为______．
18. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；
②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1 ③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是______(填写序号)．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19. 可以用如下方法求方程x2−2x−2=0的实数根的范围：
利用函数y=x2−2x−2的图象可知，当x=0时，y<0，当x=−1时，y>0，所以方程有一个根在−1和0之间．
(1)参考上面的方法，求方程x2−2x−2=0的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程x2−2x+c=0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．







20. 已知二次函数y=−12(x+1)2+2．
(1)填空：此函数图象的顶点坐标是______；
(2)当x______时，函数y的值随x的增大而减小；
(3)设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积．







21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x−3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0)．
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．










22. 如图，平面直角坐标系中，以点C(2,3)为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试求此二次函数的顶点坐标．












23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2−1与y轴交于点C．
(1)试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线y=x2−2mx+m2−1沿直线y=−1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D.若m>0，CD=8，求m的值；
(3)已知A(2k,0)，B(0,k)，在(2)的条件下，当线段AB与抛物线y=x2−2mx+m2−1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．







24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+m与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴负半轴交于点C，已知线段AB长为6．
(1)求抛物线解析式以及点C坐标．
(2)抛物线顶点为D，求四边形ACDB的面积．
(3)在抛物线的对称轴上求一点Q，使得QA+QC的值最小，请直接写出点Q的坐标为______．










25. 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(−1,0)，(2,0)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当−2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a<3







答案和解析
1.【答案】C

【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵−b2a=−2，
∴b=4a，ab>0，
∴b−4a=0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于−4，0处两点，
∴b2−4ac>0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，
∴②⑤正确，
∵当x=−3时y>0，即9a−3b+c>0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．  
2.【答案】B

【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴x1+x22=2，即x1+x2=4>0，故选项A错误；
∵x1 ∴−1<4−x22<0，
解得：4 ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a>0，
∴ab<0，故选项D错误；
故选：B．
利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y=ax2+(b−k)x+c的大致图象，从而可以解答本题．
【解答】
解：设y=y2−y1，
∵y1=kx，y2=ax2+bx+c，
∴y=ax2+(b−k)x+c，
由图象可知，在点A和点B之间，y>0，在点A的左侧或点B的右侧，y<0，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；
故选B．  
4.【答案】D

【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a+c=b，故本选项正确；
②由对称轴为x=1，一个交点为(−1,0)，
∴另一个交点为(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的解为−1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，则2a+b=0，故本选项正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于(0,2)，
∴c=2，
∵a<0，
∴c−a>2，故本选项正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．

5.【答案】B

【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，即b<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△>0．
故选：B．
利用抛物线的开口方向先确定a的符合，再利用对称轴的位置确定b的符合，接着利用抛物线与y轴的交点位置确定c的符合，然后根据抛物线与x轴个数确定△的符合，从而可对各选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．

6.【答案】D

【解析】解：①如图1，当a>0，顶点为(−3,−6)时，与x轴有两个交点，
所以△>0，即b2>4ac；
故①正确；
②如图1，当a>0时，则y≥−6，
∴ax2+bx+c≥−6；
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=−3，
∴点(−2,m)与(−4,m)是对称点，
当a>0时，x<−3时，y随x的增大而减小，
当a<0时，x<−3时，y随x的增大而增大，
而点(−2,m)，(−5,n)在抛物线上，所以m与n的大小不能确定；
故③错误；
④如图2，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4的一根为−5，
由对称性可得：另一根为−1．
所以④正确；
其中正确的是：①②④；
故选：D．
①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；
②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；
③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−3，则根据二次函数的增减性可对③进行判断；
④根据抛物线的对称性：得到抛物线y=ax2+bx+c上的对称点(−1,−4)，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系．

7.【答案】C

【解析】解：依照题意，画出图形如下：

∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n>0．
∴a<0，c>0，对称轴为x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①正确，
∵对称轴为x=−1，
∴x=1与x=−3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为(−1,n)，
∴抛物线解析式为；y=a(x+1)2+n=ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+(2a−k)x+a+n−1=0，
∴△=(2a−k)2−4a(a+n−1)=k2−4ak+4a−4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象的交点个数，故③错误；
当−3≤x≤3时，
当x=−1时，y有最大值为n，当x=3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．

8.【答案】C

【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当x=0时，c=−2，
当x=1时，a+b−2=−2，
∴a+b=0，
∴y=ax2−ax−2，
∴abc>0，
①正确；
x=12是对称轴，
x=−2时y=t，则x=3时，y=t，
∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
②正确；
m=a+a−2，n=4a−2a−2，
∴m=n=2a−2，
∴m+n=4a−4，
∵当x=−12时，y>0，
∴a>83，
∴m+n>203，
③错误；
故选：C．  
9.【答案】C

【解析】解：由图象可知，当x=0时，y<0，
∴c<0，
∴①不正确；
∵对称轴为x=−1，0 ∴−3 ∴②正确；
当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∴③不正确；
∵函数与x轴有两个交点，
∴△>0，即b2−4ac>0，
∴④正确；
由点A(4,y1)，B(1,y2)可知，点A、B在对称轴的右侧，
∴y随x值的增大而增大，
∴y1>y2，
故⑤正确；
故选：C．
由图象可知当x=0时，y<0，所以c<0；函数与x轴有两个交点，所以△>0，即b2−4ac>0；当x=1时，y>0，所以a+b+c>0；由函数的对称性可知，对称轴为x=−1，0y2．
本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．

10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△=(−2a)2−4(a2−3a+6)<0，解得a<2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a，根据二次函数的性质得到a≥−1，从而得到实数a的取值范围是−1≤a<2．
【解答】
解：y=(x−a−1)(x−a+1)−3a+7=x2−2ax+a2−3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△=(−2a)2−4(a2−3a+6)<0，解得a<2，
∵抛物线的对称轴为直线x=−−2a2=a，抛物线开口向上，
而当x<−1时，y随x的增大而减小，
∴a≥−1，
∴实数a的取值范围是−1≤a<2．
故选：D．  
11.【答案】A

【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程x2+bx−t=0在−1 根据对称轴求出b的值，从而得到x=−1、3时的函数y=x2−4x值，再根据一元二次方程x2+bx−t=0(t为实数)在−1 【解答】
解：∵抛物线的对称轴x=−b2=2，
∴b=−4，
则方程x2+bx−t=0，即x2−4x−t=0的解相当于y=x2−4x与直线y=t的交点的横坐标，
∵方程x2+bx−t=0在−1 ∴y=x2−4x，当x=−1时，y=1+4=5，
当x=3时，y=9−12=−3，
又∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴当−1 ∴当−4≤t<5时，在−1 即当−4≤t<5时，方程x2+bx−t=0在−1 ∴t的取值范围是−4≤t<5，
故选：A．  
12.【答案】C

【解析】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为0.12 故选：C．
由表格可发现y的值−1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．
本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．

13.【答案】−1或−2或1

【解析】解：当a+1=0，即a=−1时，函数解析式为y=−4x−2，与x轴只有一个交点；
当a+1≠0，即a≠−1时，根据题意知，(−4)2−4×(a+1)×2a=0，
整理，得：a2+a−2=0，
解得：a=1或a=−2；
综上，a的值为−1或−2或1．
故答案为：−1或−2或1．
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0，据此求解可得．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．

14.【答案】x1=−1，x2=7

【解析】解：∵二次函数y=x2−6x+m(m是常数)的图象的对称轴为直线x=−−62=3，
而点(−1,0)关于直线x=3的对称点为(7,0)，
∴二次函数y=x2−6x+m(m是常数)的图象与x轴的另一个交点为(7,0)，
∴则关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根为x1=−1，x2=7．
故答案为x1=−1，x2=7．
先确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到二次函数y=x2−6x+m(m是常数)的图象与x轴的另一个交点为(7,0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

15.【答案】1

【解析】解：∵二次函数y=ax2−2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2−4ac=4−4a=0，
∴a=1，
故答案为1．
由抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得到b2−4ac=0，即可求出a的值．
本题考查了抛物线和x轴的交点问题．关键是根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到a的方程．

16.【答案】②③

【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，即2a+b=0，故③正确；
∵由函数图象可得：当0 当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为②③．
由函数图象可得抛物线开口向下，得到a<0，又对称轴在y轴右侧，可得b>0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c>0，进而得到abc<0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为(3,0)及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为(−1,0)，进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为−1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．

17.【答案】4

【解析】
【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据点A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
【解答】
解：∵点A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，
∴−b2×1=−1+52，
解得，b=−4，
∴抛物线解析式为y=x2−4x+1=(x−2)2−3，
∵将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．  
18.【答案】①③

【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；
当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：①③．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

19.【答案】解：(1)利用函数y=x2−2x−2的图象可知，
当x=2时，y<0，当x=3时，y>0，
所以方程的另一个根在2和3之间；
(2)函数y=x2−2x+c的图象的对称轴为直线x=1，
由题意，得c>01−2+c<0，
解得0
【解析】(1)计算x=2和x=3时，y的值，确定其x2所在范围是2 (2)根据题意得到c>01−2+c<0，解得即可．
本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．

20.【答案】(1)(−1,2) (2) x>−1(或x≥−1) 
(3)令x=0时，易求：y=32
∴点C的坐标为(0,32)即：OC=32
令y=0时，易求：x1=1，x2=−3
易求：AB=4．
∴S△ABC=12×4×32=3．

【解析】解：(1)二次函数y=−12(x+1)2+2的顶点坐标是(−1,2)．
故答案是：(−1,2)；

(2)因为二次函数y=−12(x+1)2+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=−1，
所以当x>−1(或x≥−1)时，函数y的值随x的增大而减小．
故答案是：x>−1(或x≥−1)；

(3)见答案
(1)根据抛物线解析式直接得到答案；
(2)结合抛物线的性质填空；
(3)由抛物线与坐标轴的交点的求法求得三角形ABC的底边以及底边上的高线的长度，结合三角形的面积公式解答．
考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标以及三角形的面积公式．需要掌握二次函数解析式的三种形式，二次函数图象的增减性．

21.【答案】解：(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x−3，得0=a+4−3，解得a=−1，
∴y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
∴A(2,1)，
∵对称轴x=1，B，C关于x=2对称，
∴C(3,0)，
∴当y>0时，1
(2)∵D(0,−3)，
∴点D平移到A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y=−(x−4)2+5．

【解析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．
(2)由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．

22.【答案】解：过点C作CM⊥AB于点M，连接AC，
则CM=3，AC=2，故AM=1，则点A、B的坐标分别为：(1,0)、(3,0)，
则抛物线的表达式为：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3=(x−2)2−1．
∴顶点坐标为(2,−1)


【解析】CM=3，AC=2，故AM=1，则得到点A、B的坐标，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

23.【答案】解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(m,−1)；
(2)由对称性可知，点C到直线y=−1的距离为4，
∴OC=3，
∴m2−1=3，
∵m>0，
∴m=2；
(3)∵m=2，
∴抛物线为y=x2−4x+3，
当抛物线经过点A(2k,0)时，k=12或k=32；
当抛物线经过点B(0,k)时，k=3；
∵线段AB与抛物线y=x2−2mx+m2−1只有一个公共点，
∴12≤k<32或k>3．

【解析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．
(1)化成顶点式即可求得；
(2)根据题意求得OC=3，即可得到m2−1=3，从而求得m=2；
(3)将点A(2k,0)，B(0,k)，代入抛物线，此时抛物线与线段刚相交的时候，k在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．

24.【答案】(1)令y=0，x2−4x+m=0，
解得：x1=2−4−m，x2=2+4−m，
∴点A(2−4−m,0)，点B(2+4−m,0)，
∵AB=6，
∴2+4−m−(2−4−m)=6，
解得：m=−5，
∴抛物线的解析式为：y=x2−4x−5，
令x=0，y=−5，
∴点C(0,−5)；
(2)根据抛物线的顶点公式可得：
−b2a=−−42×1=2，4ac−b24a=−20−164=−9，
∴顶点D(2,−9)，
∴S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE
=12×1×5+12×(5+9)×2+12×3×9
=2.5+14+13.5=30；
(3)(2,−3)

【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点Q(2,−3)，

连接BC与DE交于点Q，此时QA+QC的值最小．
由(1)可知，点B(5,0)，点C(0,−5)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴b=−55k+b=0，解得：k=1b=−5，
∴直线BC的解析式为：y=x−5，
当x=2时，y=2−5=−3，
∴点Q(2,−3)，
故答案为：(2,−3)．
(1)令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，利用AB的长度，即可求得m的值，进而可得抛物线的解析式，令x=0时，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
(2)利用顶点坐标公式，求出顶点坐标，利用S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE直接计算即可；
(3)连接BC与DE交于点Q，即可得QA+QC的值最小．
本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的性质、待定系数法、最短距离的综合应用，解决此题时，能用含m的式子表示出点A、B的坐标是关键．

25.【答案】解：(1)由二次函数y=x2+px+q的图象经过(−1,0)和(2,0)两点，
∴1−p+q=04+2p+q=0，解得p=−1q=−2，
∴此二次函数的表达式y=x2−x−2；
(2)∵抛物线开口向上，
对称轴为直线x=−1+22=12，
∴在−2≤x≤1范围内，
当x=−2时，函数有最大值为：y=4+2−2=4；
当x=12时函数有最小值：y=14−12−2=−94，
∴最大值与最小值的差为：4−(−94)=254；
(3)∵y=(2−m)x+2−m与二次函数y=x2−x−2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2−x−2=(2−m)x+2−m，整理得
x2+(m−3)x+m−4=0
∵a<3 ∴a≠b
∴Δ=(m−3)2−4×(m−4)=(m−5)2>0
∴m≠5，
∵a<3 当x=3时，(2−m)x+2−m>x2−x−2，
把x=3代入(2−m)x+2−m>x2−x−2，解得m<1，
∴m的取值范围为m<1．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
(1)由二次函数的图象经过(−1,0)和(2,0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=−2时，函数有最大值4；当x=12时函数有最小值−94，进而求得它们的差；
(3)由题意得x2−x−2=(2−m)x+2−m，整理得x2+(m−3)x+m−4=0，因为a<30，把x=3代入(2−m)x+2−m>x2−x−2，解得m<1．