初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系图文ppt课件

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（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(4) 2x2+3x-2=0
解下列方程并完成填空：
（3）3x2-4x+1=0
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根为x1、x2, 则
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
一元二次方程的根与系数的关系：
1.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2 =
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
2.方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写.
1、判别一元二次方程两根的符号
例1 不解方程，判别方程 x2 + 7x + 6 = 0两根的符号.
分析：对于方程 x2 + 7x + 6 = 0来说，二次项系数、一次项系数、常数项均为已知，据此可求出根的判别式；但是判别式只能判别根的存在与否，若要确定根的符号，还需要借助韦达定理.
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 <0, x1 x2 = 6>0. ∴ 方程有两个同为负数的实数根.
2、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.
（1）x²-6x-15=0
解：x1+x2=-(-6)=6 x1x2=-15
（2）3x²+7x-9=0
解：x1+x2= x1x2=
（3）5x-1=4x²
解：方程化为4x²-5x+1=0 x1+x2= x1x2=
3、利用根与系数的关系求方程中待定字母的值或待定字母的取值范围.
例3 已知方程x2 - bx - 5=0的一个根是-1，求它的另一个根及b的值.
分析： 方法一 根据方程的定义，把已知的根代入原方程，先求出b的值，再通过解方程求出另一个根. 方法二 利用韦达定理求出b的值及另一个根.
解：解法一： 设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=-1. 把x1=-1代入原方程中，得b=4,即x2 - 4x - 5=0 利用因式分解得 （x+1）（x-5）=0 解得 x1=-1 x2=5 答：方程的另一个根是5，b=4.
解法二： 设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=-1. 根据韦达定理得：x1·x2=-x2=-5 即：x2=5 由于x1+x2=-1+5=4 得：b=4. 答：方程的另一个根是5，b=4.
例4、方程 的两根互为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 和
例5 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
4、利用根与系数的关系求求代数式的值.
例6：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
1.若x1，x2是方程x²+x-1=0的两个实数根，x1+x2= ， x1+x2= .2.已知x=1是方程x²+mx-3=0的一个根，则另一个根为 ，m= .3.若方程x²+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ， b= .
4. 已知方程x²-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.
解：设方程另一根为x1. 则x1+3=1，∴x1=-2. 又x1.3=-2×3=c， ∴c=-6.
5. 已知方程x²-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下 列式子的值：（1）x1²+x2²； （2） .
解：∵方程x²-5x-7=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=-7.
（1）x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=5²-2×(-7)=39；（2）
教科书17页，习题 21. 2 7、13题
教科书第60页第3、6题