湘教版九年级下册第1章 二次函数1.3 不共线三点确定二次函数的表达式精品课后作业题

1.3不共线三点确定二次函数表达式同步练习湘教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

2. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 用配方法将二次函数化为的形式为

A.  B.
C.  D.

4. 把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为

A. ， B. ，1 C. ，7 D. ，

5. 已知某一抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相同，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为   

A.  B.
C.  D.

6. 把化成 的形式是

A.  B.
C.  D.

7. 用配方法将二次函数化为的形式为

A.  B.
C.  D.

8. 已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为．

A.  B.  C.  D.

9. 抛物线关于x轴对称的抛物线的表达式为      

A. ． B. ．
C. ． D. ．

10. 把二次函数配方化为形式是

A.  B.
C.  D.

11. 抛物线与x轴的两个交点坐标为，，其形状及开口方向与抛物线相同，则抛物线的函数表达式为

A.  B.
C.  D.

12. 将二次函数的右边进行配方，正确的结果是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______．
    
    
     

14. 二次函数化，成的形式是          ．
15. 在研究活动中，数学小组将能够确定抛物线的形状、大小、开口方向，位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记为、b、，则特征数为、、的抛物线的顶点坐标为          ．
16. 我们约定：在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”例如，点的特征线有，，，如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限内，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B，C两点，顶点D在正方形OABC内部若点D有一条特征线是，则此抛物线的表达式是          ．
17. 在平面直角坐标系中，点，点已知抛物线是常数，顶点为无论m取何值，该抛物线都经过定点当时，抛物线的解析式是          ．
18. 把二次函数变形为的形式为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 若二次函数的图象经过点 和 两点，
    求此二次函数的表达式．
    当x取何值时，y随x的增大而减小．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设二次函数b是常数，．
    判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
    若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
    若，点在该二次函数图象上，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线关于x的方程有两个相等的实数根．
    求抛物线的解析式；
    若，试比较与的大小；
    若B，C两点在直线的两侧，且，求n的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点．
    求此二次函数的解析式；
    当x为何值时，y随x的增大而增大？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点在该函数图象上．
    当时，求n的值．
    当时，若点A在第一象限内，结合图象，求当时，自变量x的取值范围．
    作直线AC与y轴相交于点当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．

24. 已知抛物线经过点，．
    求a，b的值；
    若，是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知二次函数的图象经过点．
    当时，若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；
    已知点，在该二次函数的图象上，求t的取值范围；
    当时，若该二次函数的图象与直线交于点P，Q，且，求b的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为，代入点可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．
【解答】
解：设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
故选：A．  

2.【答案】D
 

【解析】解：
，
，
即．
故选：D．
利用配方法整理即可得解．
本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查的是二次函数解析式的变形，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式的步骤是关键．
利用配方法的步骤变形即可．
【解答】
解：

．
故选C．  

4.【答案】D
 

【解析】解：


，
故二次项系数和一次项系数分别为：，．
故选：D．
直接利用多项式乘法运算化简，得到二次函数一般式，再利用二次函数的定义得出答案．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确将二次函数化成一般式是解题关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：某一抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，
抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相同，
，
该抛物线的解析式为．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：，
，
，
．
故选：D．
用配方法直接得出答案即可．
本题考查了二次函数的三种形式，一般式：；顶点式：；两根式：
 

7.【答案】B
 

【解析】解：

．
故选：B．
直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线与x轴的交点情况下，通常用交点式设二次函数的解析式．
根据抛物线与x轴的交点坐标设出，抛物线的解析式为：再把代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
【解答】
解：设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得，
解得，
则抛物线的解析式为： ．
故选B．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，结合二次函数的三种形式得到图像上点的坐标特征，并用待定系数法求二次函数解析式首先根据抛物线的表达式可以直接得出顶点坐标，因为抛物线关于x轴对称，所以变换后的对称点为，又因为抛物线开口向上，所以对称的抛物线开口向下，即，最后利用待定系数法即可求出对称的抛物线的表达式．
【解答】
解：的顶点为，
关于x轴的对称点为，
开口向上，
对称的抛物线开口向下，即，
又对称的抛物线的顶点为，
对称的抛物线的表达式为：．
故选A．  

10.【答案】B
 

【解析】解：

，
即．
故选：B．
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数的性质及二次函数的解析式有三种形式：一般式：a、b、c为常数；顶点式：；交点式与x轴：
 

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线的形状与系数的关系，本题用交点式比较容易解．
根据抛物线的形状与抛物线相同，得到；根据与x轴的两个交点为，，利用交点式求表达式即可．
【解答】
解：根据题意，
所以设，
求出解析式，
即是．
故选D．  

12.【答案】A
 

【解析】解：．
故选：A．
加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
本题考查了二次函数的三种形式，一般式：，顶点式：；两根式：
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．
【解答】
解：的顶点在抛物线上，
，解得，
抛物线为，
点，
，
，
将绕点O顺时针旋转，得到，
点在y轴上，且，
，
，
轴，
点的纵坐标为2，
代入，得，
解得，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】将二次函数化为时，易在配方时忽略二次项系数而致错．
 

15.【答案】
 

【解析】解：特征数为、、，
抛物线的解析式为，
该抛物线的顶点坐标为．
故答案为．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：由题意可知，在直线上，
，易知正方形OABC的边长为2a，，
将和代入，
得，解得，
，
所求表达式为．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：对于，当时，，
无论m取何值，该抛物线都经过点，即，
过点A作于点B，过点B作轴于点C，过点H作y轴的垂线，交CD于点D，
，
，
．
，
是等腰直角三角形，且．
在与中，

，
，．
设点B的坐标为，
若点P在AH左侧，即点B在AH左侧，如下图，
 

则，，，，
解得
．
设直线BH的解析式为，
，解得
直线BH的解析式为．
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点P的坐标为，

点在直线BH上，
，
解得，，
时，点P与点H重合，不符合题意，
，
抛物线的解析式为．
若点P在AH右侧，即点B在AH右侧，如下图，
 

，，，，

解得，
．
设直线BH的解析式为，
，解得
直线BH的解析式为，
点在直线BH上，
，

解得，舍去，
抛物线的解析式为．
综上所述，抛物线的解析式为或．

故答案为或．

18.【答案】
 

【解析】解：，即．
故答案是：．
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
此题主要考查了二次函数的解析式有三种形式：
一般式：a、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
 

19.【答案】解：二次函数的图象经过和两点，
，
解得：，
二次函数的表达式为．
由可知开口向上，二次函数的对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而减小．
 

【解析】由二次函数经过和两点，将两点代入解析式中，即可求得二次函数的表达式；
根据二次函数的性质即可求得．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】解：设，
，
，
方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
当时，，
抛物线不经过点C，
把点，分别代入得，
，
解得，
抛物线解析式为；
当时
，
，
，
相加得：
，
．
 

【解析】本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
当时，，所以抛物线过A、B两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
把代入，用a、b表示m，由m的范围结合可解．
 

21.【答案】解：抛物线经过，
，
对称轴是直线，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
由可得：，
抛物线的解析式为；
，
，
点B，点C在对称轴直线的左侧，
抛物线，，
当时，y随x的增大而增大，
，
，
；
若点B在对称轴直线的左侧，点C在对称轴直线的右侧时，
由题意可得，
，
若点C在对称轴直线的左侧，点B在对称轴直线的右侧时，
由题意可得：，
不等式组无解，
综上所述：．
 

【解析】由题意可得，，，联立方程组可求a，b，c，即可求得解析式；
由，可得点B，点C在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
本题考查了二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，得，
把代入，得，
解得，
二次函数解析式为；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大．
 

【解析】由于当时有最大值，则抛物线的顶点式为，再把代入即可求出a，从而得到二次函数解析式；
根据抛物线的对称轴的位置，易得当时，y随x的增大而增大．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，．

当时，将代入函数表达式，得，
解得或舍弃，
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．

点A与点C不重合，
，
抛物线的顶点A的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点B的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，，
解得或，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
点在线段OD上时，m的取值范围是：或．



 

【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
利用待定系数法求解即可．
求出时，x的值即可判断．
由题意点B的坐标为，求出几个特殊位置m的值即可判断．
 

24.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，对称轴为，
，
．
 

【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，再根据对称轴，即可得到结论．
 

25.【答案】解：，
二次函数的表达式为，
点，在二次函数的图象上，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；

点，在该二次函数的图象上，
该二次函数的对称轴是直线，
抛物线开口向上，，M，N在该二次函数图象上，且，
由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，
，
的取值范围是；

当时，，
二次函数的图象经过点，
，即，
二次函数表达式为，
根据二次函数的图象与直线交于点P，Q，
联立，得，
解得，，
点P，Q的横坐标分别是1，，
可设点P的横坐标是1，则点P与点A重合，即P的坐标是，
点Q的坐标是，
，
，
解得，，，
的值为0或2．
 

【解析】将点A，B的坐标代入即可；
由点M，N的坐标推出该二次函数的对称轴是直线，结合抛物线开口向上推出点M，N分别落在点的左侧和右侧，由此可列出关于t的不等式组，解此不等式组即可；
求出含字母b的二次函数表达式，再求出其与直线的交点坐标，由两点间的距离为可列出关于b的方程，解此方程即可求出b的值．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象性质及两点之间的距离等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质及具有一定的运算能力等．