数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆精品综合训练题

这是一份数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆精品综合训练题，共22页。试卷主要包含了0分），5C，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O是直径，CD平分∠ACB交⊙O于D点，则∠BAD等于( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为( )
A. 55°
B. 65°
C. 60°
D. 75°
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则其外接圆的半径为( )
A. 15B. 7.5C. 6D. 3
已知⊙O的半径为2，点A与点O的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是( )
A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，则∠BAC的度数是( )
A. 120°
B. 80°
C. 60°
D. 30°
如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α度，则∠OBC的度数为( )
A. α
B. 90−α
C. 90+α
D. 90+2α
如图，在矩形ABCD中，AB=4、AD=8，点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，连接EF.连接点D与线段EF的中点G.如果将△BEF绕点B顺时针旋转，那么在旋转的过程中，线段DG长的最大值是( )
A. 55B. 65C. 317D. 85
如图，AB为等腰直角三角形ABC的斜边(AB为定长线段)，O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，交PB于点D，当P点运动时，给出下列四个结论： ①E为△ABP的外心; ②∠PEB=90∘; ③PC⋅BE=OE⋅PB; ④2CE+PC=22AB.其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3,4)，点P的坐标是(5,8)，则点P与QA的位置关系是( )
A. P在⊙A上B. P在⊙A内C. P在⊙A外D. 不确定
如图，圆O是△ACD的外接圆，AB是圆O的直径，∠BAD=48°，则∠C的度数是( )
A. 30°
B. 42°
C. 45°
D. 48°
已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
如图，在平面直角坐标系中，C(0,4)，A(3,0)，⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50°，则∠ADB=______°.
已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为______．
若⊙O的半径为5，OP=4，则点P与⊙O的位置关系为______．
如图，在▵ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4.将▵ABC绕BC的中点D旋转得▵EFG，连接CE，则CE的最大值为_________．
在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,4m)，点B(0,−5m)，其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为O’，则点M(1,2)到点O’的最小距离为________．
三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的外接圆半径是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
如图1，△ABC内接于⊙O，点D是AB的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
(1)求证：△ADE∽△CDA．
(2)如图2，若⊙O的直径AB=46，CE=2，求AD和CD的长．
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
(1)求证：∠CAD=∠ABC；
(2)若AD=6，求CD的长．
、
如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①(已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上)，图②(已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A=90°)中找出圆心O的准确位置．
如图，△ABC内接于⊙€O，∠C=120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角．(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)在图1中，AC=BC；
(2)在图2中，AC≠BC．
如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．
(1)如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P；
(2)如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q．
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
(1)在图1中，画出△ABC的角平分线AF；
(2)在图2中，画出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG．
如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
(1)求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
(2)设OG=3，CD=25，求⊙O的半径．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于D点，
∴∠DCB=12∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠DCB=45°，
故选：B．
根据圆周角定理和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°−∠A=130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：连接CD，
∵∠A=50°，
∴∠CDB=180°−∠A=130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠ODB=∠ODC=12∠BDC=65°，
故选：B．

3.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，而AC=9，BC=12，
∴AB=92+122=15．
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5．
故选：B．
直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．
本题主要考查圆周角定理及其推论，即90度的圆周角所对的弦是直径．解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算．
4.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径为2，点A与点O的距离为4，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外．
故选：C．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5.【答案】C
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，
∴∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°．
故选：C．
由⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，根据圆周角定理可求得∠BAC的度数．
此题考查了圆周角定理与三角形外接圆的知识．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接OC
∵∠A=α度，∠BOC=2∠A
∴∠BOC=2α度
∵OB=OC
∴∠OBC=180−2α2=(90−α)度
故选：B．
由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOC=2α度，由等腰三角形的性质可求∠OBC的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆的有关知识，等腰三角形的性质，熟练运用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍是本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接BC、BG，
在矩形ABCD中，AB=4、AD=8，
∴BD=AB2+AD2=42+82=45，
∵点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，
∴BE=2、BF=4，
∴EF=BE2+BF2=22+42=25，
∴BG=12EF=5，
∴G在⊙B上，且半径为5，
∴当D，B，G三点共线时，DG最大，
∴DG的最大值为45+5=55；
故选：A．
根据同圆的半径相等可知：点G在半径为5的⊙B上，所以当D、B、G共线时，DG最大，根据勾股定理和三角形的中线的性质定理可得结论．
本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，明确当D，B，G三点共线时，DG最大是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】 ①∵CO为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线，
∴CO垂直平分AB，
又∵DE垂直平分PB，
∴E点是AB、BP垂直平分线的交点，
∴E点是△ABP的外心，
故 ①正确;
②连接AE，如图，由 ①可知A、B、P在以E为圆心，BE长为半径的圆上，
∵∠PAB=45∘，
∴∠PEB=90∘，
故 ②正确;
③由 ②易知BE=PE，∠PEB=90∘，
∴∠PBE=∠EPB=45∘，
∴∠PBE=∠ABC=45∘，
∴∠EBO=∠PBC=45∘−∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90∘，
∴△BPC∽△BEO，
∴PCEO=BPBE，
即PC⋅BE=OE⋅PB，
故 ③正确;
④过E作EM⊥OC，交AC于M，易知△EMC是等腰直角三角形，
∴EC=ME，MC=2EC，∠PME=45∘，
∴∠PEM=90∘+∠PEC=∠BEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE(SAS)，
∴PM=BC=22AB，
∵PM=CM+PC=2EC+PC，
∴2CE+PC=22AB，
故 ④正确．
因此正确的结论是 ① ② ③ ④，故选D．
9.【答案】B
【解析】解：∵A的坐标为(3,4)，点P的坐标是(5,8)，
∴AP=(5−3)2+(8−4)2=25，
∵⊙A的半径为5，
∴点P在⊙A的内部
故选：B．
首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B=180°−∠ADB−∠BAD=180°−90°−48°=42°，
∴∠C=∠B=42°．
故选：B．
先根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，再利用三角形内角和定理可计算出∠B=42°，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径．
【解答】
解：∵圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，
∴圆的直径为8+2=10，
∴该圆的半径是5．
故选D．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH.利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心，半径为1的圆，进而易求出OH，即可得到OE的最小值．
【解答】
解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
∵CE=EP，CH=AH，
∴EH=12PA=1，
∴点E的运动轨迹是以H为圆心，半径为1的圆，
∵C(0,4)，A(3,0)，
∴H(1.5,2)，
∴OH=22+1.52=2.5，
∴OE的最小值=OH−EH=2.5−1=1.5，
故选B．
13.【答案】50
【解析】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA=50°，
∴∠ADB=∠BCA=50°，
故答案为：50．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】2或3
【解析】解：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径=5−1=4，因而半径是2．
所以⊙O的半径为2或3．
故答案为：2或3．
解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．
本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论．
15.【答案】圆内
【解析】解：∵OP=4<6，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故答案为圆内．
点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
16.【答案】13+2
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆的性质有关知识．
根据题意得出E是以D为圆心，13为半径的圆上的一个动点，当E点转到CD的延长线与圆的交点E′时CE的最大．
【解答】
解：∵BC = 4，D为BC的中点，
∴CD=2，
∵∠ACB = 90°，AC = 3，
∴AD=AC2+CD2=13，
依题意，E点在以D为圆心，13为半径的圆上，
如图，当E点转到CD的延长线与圆的交点E′时CE的最大，
此时， CE的最大值为CE′=CD+DE′=13+2．
故答案为：13+2．
17.【答案】53
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质以及圆外一点与圆上点的距离，分析出点O′的运动轨迹是解题的关键．
根据点A，B的坐标，求出直线AB的解析式，找出直线一定经过的定点点D，根据轴对称的性质，得出DO=DO′，确定点O′在以点D为圆心，以DO为半径的圆上移动，从而分析出当点O′与点N重合时，点M与点O′的距离最小，从而得出答案．
【解答】
解：
∵点A (−3,4m)，点B(0,−5m)，且设yAB=kx+b，
∴4m=−3k+bb=−5m,
解得：k=−3m，b=−5m，
∴yAB=−3mx−5m，
∵yAB=−m3x+5，
∴令3x+5=0，即x=−53时，y=0，
∴无论m取何值，直线yAB=−3mx−5m一点经过−53,0，如图中的点D．
∵点O关于直线AB的对称点为O′，则AB为OO′的垂直平分线，
∴DO=DO′，
∴随着m的变化，点O′在以点D为圆心，以DO为半径的圆上运动，
∴当点O′、D、M三点共线，即与点N重合时，点M与点O′的距离最小，最小距离为MN的长度．
∵M(1,2)，D−53,0，
∴MD=1+532+22=103，
∴MN=MD−DN=103−53=53，
∴点M与点O′的最小距离为：53．
故答案为：53．
18.【答案】2.5
【解析】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5，
又∵32+42=52，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5，
∴此三角形的外接圆半径是2.5．
故答案为2.5；
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，斜边就是外接圆的直径，由此即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的外心就是斜边中点，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)∵点D是ADB的中点，
∴AD=BD
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ADE=∠CDA
∴△ADE∽△CDA
(2)连结BD，
∵点D时ADB的中点，
∴AD=BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=AB2=462=43，
由(1)得△ADE∽△CDA，
∴ADCD=EDAD，即AD2=CD⋅ED，
∴(43)2=CD(CD−2)，
∴CD2−2CD−48=0，解得CD=8或−6．
∴CD=8．
【解析】(1)点D是ADB的中点，所以∠ACD=∠BAD，从而可证△ADE∽△CDA．
(2)连结BD，先证明∠ADB=90°，AD=AB2=462=43，由(1)得△ADE∽△CDA，列出方程即可求出CD的长度．
本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质，本题属于中等题型．
20.【答案】解：(1)∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
(2)∵∠CAD=∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π.
【解析】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由角平分线的定义和圆周角定理可得∠DBC=∠ABC=∠CAD；
(2)由圆周角定理可得CD=AC，由周长的14可求解．
21.【答案】解：如图①②，点O即为所求．
【解析】直接利用菱形的性质结合圆周角定理得出答案．
此题主要考查了点的与圆的位置关系以及菱形的性质，正确结合菱形的性质分析是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图1所示：∠BDC=30°；
(2)如图2所示：∠ADE=30°．
【解析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确应用圆周角定理是解题关键．
(1)利用圆周角定理得出答案；
(2)利用圆周角定理连接直径可得∠ABE=30°进而得出答案．
23.【答案】解：(1)如图，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；
(2)延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求．
【解析】(1)如图1中，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，因为EF是⊙O直径，所以∠EDF=90°，利用平行线的性质，可知DP⊥AB．
(2)如图2中，延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，所以∠MEF=90°，利用平行线的性质，可知EQ⊥AB．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)如图1，连结AP交BC于F，则AF为所求；
(2)如图2，
延长PO交⊙O于G，则射线AG为所求．
【解析】(1)连结AP交BC于F，根据垂径定理得到BP=CP，则∠BAP=∠CAP，所以AF为△ABC的角平分线；
(2)延长PO交⊙O于G，连结GB、GC，根据垂径定理得GP垂直平分BC，则GB=GC，于是∠GBC=∠GCB，根据圆内接四边形的性质得∠DAG=∠GBC，根据圆周角定理得∠GAB=∠GCB，所以∠DAG=∠GAB，即AG平分∠BAD．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25.【答案】(1)证明：∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EAF，
∵∠1+∠2+∠3+∠EAF=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
∴DE是△ABC的外接圆的直径；
(2)解：连接OC，如图所示：
设⊙O的半径为r，
则OD=OC=r，DG=r−3，
∵∠1=∠2，
∴CD=BD，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=∠DGC=90°，
由勾股定理得：CG2=CD2−DG2，CG2=OC2−OG2，
∴CD2−DG2=OC2−OG2，
即(25)2−(r−3)2=r2−32，
解得：r=5，或r=−2(不合题意，舍去)，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)由角平分线的定义和平角关系得出∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，由90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出结论；
(2)连接OC，设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，DG=r−3，由垂径定理得出OD⊥BC，由勾股定理得出CD2−DG2=OC2−OG2，得出方程，解方程即可．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、角平分线的定义等知识；本题综合性强，有一定难度．