湘教版九年级下册2.3 垂径定理精品同步训练题

这是一份湘教版九年级下册2.3 垂径定理精品同步训练题，共23页。试卷主要包含了0分），7，1682−982≈137)，【答案】D，【答案】B，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，弓形ADB中，AB=24，弓形所在圆的半径是13，则弓高CD的长是( )
A. 5
B. 14
C. 11
D. 18
下列说法中，正确的个数有：(1)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；(2)半圆是弧；(3)长度相等的弧是等弧；(4)平分弦的直径垂直于这条弦．( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
下列有关圆的一些结论，其中正确的是( )
A. 任意三点可以确定一个圆
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D. 圆内接四边形对角互补
如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为( )
A. 8B. 4C. 22D. 23
下列语句中，正确的是( )
A. 长度相等的两条弧是等弧B. 相等的圆周角所对的弧相等
C. 相等的弧所对的圆心角相等D. 平分弦的直径垂直于弦
如图，AB是⊙O的弦，且AB=6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC=30°，则圆心O到弦AB的距离等于( )
A. 33
B. 32
C. 3
D. 32
如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为( )
A. 50 mB. 45 mC. 40 mD. 60 m
如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为( )
A. 17m
B. 5m
C. 5m
D. 52m
如图，△ABC内接于半径为5的半⊙O，AB为直径，点M是AC的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为( )
A. 6510B. 3510C. 655D. 355
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为( )
A. 25 m
B. 24 m
C. 30 m
D. 60 m
已知⊙O的直径CD=100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=96cm，则AC的长为( )
A. 36cm或64cmB. 60cm或80cmC. 80cmD. 60cm
如图，⊙O的直径为10，弦AB的长度是8，ON⊥AB，垂足为N，则ON=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为______．
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深1寸(即DE=1寸)，锯道长1尺(即弦AB=1尺)，问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是______(注：1尺=10寸)
已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为______．
《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸．
如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，AB=24cm，DE=9cm，则⊙O的半径为______cm．
已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为______cm．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是AD的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．
(1)求证：BI=BD；
(2)若OI=1，OE=2，求⊙O的半径．
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是AC的中点．
(1)求证：MB=MD；
(2)过O作OE⊥MB于点E，当OE=1，MD=4时，求⊙O的半径．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求AD的度数．
如图，两个圆都是以O为圆心．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若AB=10，CD=8，求BE的长．
如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过EF的圆心，若AB=200cm，∠CAB=∠DBA=60°，EC=FD，AB平行于地面EF，EF最顶端与AB的距离为2cm．
(1)求EF的半径；
(2)若台面AB与地面EF之间的距离为72cm，求E，F两点之间的距离．
(精确到1cm，参考数据：3≈1.7，1682−982≈137)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设弓形ADB所在的圆的圆心为O，连接OA，
如图，∵AB=24，CD⊥AB，
∴AC=12，
Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=OA2−AC2=132−122=5，
∴CD=13+5=18，
∴则弓高CD的长是18；
故选：D．
由垂径定理得AC=12，再利用勾股定理可得结论．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数形结合，利用垂径定理作出辅助线是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：(1)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意；
(2)半圆是弧，故符合题意；
(3)在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意；
(4)平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，故不符合题意；
其中真命题的个数有2个；
故选：C．
根据圆的有关性质分别对每一项进行分析即可．
此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】D
【解析】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
本题考查了确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：作直径AC，连接BC，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=∠P=30°，
∴AB=12AC=12×8=4．
故选：B．
作直径AC，连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠C=∠P=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查圆周角定理，垂径定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握定义是解题的关键.根据等弧的定义对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据垂径定理对D进行判断．
【解答】
解：A.能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误；
C.相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；
D.平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以D选项错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：如图，

连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB=6，
∴OC⊥AB，且AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=13AE=3，
故圆心O到弦AB的距离为3．
故选：C．
根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE=BE=3，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线OA，OC，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC=BC=12AB=150m，再由勾股定理求出OC=200m，然后求出CD的长即可．
【解答】
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：
则OA=OD=250m，AC=BC=12AB=150m，
∴OC=OA2−AC2=2502−1502=200(m)，
∴CD=OD−OC=250−200=50(m)，
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=2(m)，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2，
即(OB−1)2+22=OB2，
解得：OB=52(m)，
即这个轮子的半径长为52m，
故选：D．
连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在Rt△OBD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AM=CM，
∴∠CBM=∠ABM，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠ADB=180°−(∠DAB+∠DBA)=135°，
∵∠ADM=180°−∠ADB=45°，
∴MA=MD，
∵DM=DB，
∴BM=2AM，设AM=x，则BM=2x，
∵AB=25，
∴x2+4x2=20，
∴x=2(负根已经舍弃)，
∴AM=2，BM=4，
∵12⋅AM⋅BM=12⋅AB⋅MH，
∴MH=2×425=455，
∴OH=OM2−MH2=(5)2−(455)2=355，
∵AM=CM，
∴OM⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴BC=2OF，
∵∠OHM=∠OFA=90°，∠AOF=∠MOH，OA=OM，
∴△OAF≌△OMH(AAS)，
∴OF=OH=355，
∴BC=2OF=655．
故选：C．
如图作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F.解直角三角形求出OH，利用全等三角形的性质证明OF=OH，再利用三角形的中位线定理求出BC即可．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD的长度．根据题意，可以推出AD=BD=20，若设半径为r，则OD=r−10，OA=r，结合勾股定理可求出半径r的值．
【解答】
解：连接OC，OD，
∵点C是AB的中点，点D是AB的中点，
∴OC⊥AB，O，D，C三点共线，
∴AD=DB=20m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=(r−10)2+202，
解得：r=25m，
∴这段弯路的半径为25m．
故选A．

11.【答案】B
【解析】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=100cm，AB⊥CD，AB=96cm，
∴AM=12AB=12×96=48(cm)，OD=OC=50(cm)，
如图1，∵OA=50cm，AM=48cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=502−482=14(cm)，
∴CM=OC+OM=50+14=64(cm)，
∴AC=AM2+CM2=642+482=80(cm)；
如图2，同理可得，OM=14cm，
∵OC=50cm，
∴MC=50−14=36(cm)，
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=60(cm)；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
分两种情况，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵ON⊥AB，
∴AN=BN=12AB，
∵AB=8，
∴AN=BN=4，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
在Rt△OAN中，ON2+AN2=OA2，
∴ON=OA2−AN2=52−42=3，
故选：B．
根据⊙O的直径为10得⊙O的半径为5，弦AB的长度是8，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
本题考查了垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=12×6=3，
设⊙O的半径为x，
则OC=x，OE=OB−BE=x−1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+(x−1)2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
14.【答案】26寸
【解析】解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，
由题意知CE过点O，且OC⊥AB，
则AD=BD=12AB=5(寸)，
设圆形木材半径为r，
则OD=r−1，OA=r，
∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−1)2+52，
解得r=13，
所以⊙O的直径为26寸，
故答案为：26寸．
延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD=BD=12AB=5(寸)，设圆形木材半径为r，可知OD=r−1，OA=r，根据OA2=OD2+AD2列方程求解可得．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
15.【答案】35°
【解析】解：∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠ADC=12∠AOB=35°，
故答案为：35°．
根据垂径定理得到AB=AC，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
16.【答案】26
【解析】
【分析】
本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，则有r2=52+(r−1)2，解方程即可．
【解答】
解：如图示，
设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，
则有r2=52+(r−1)2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为26．
17.【答案】12.5
【解析】解：连结OA，如图，
∵CD为直径，且CD平分AB于E，
∴CD⊥AB，AE=12AB=12，
在Rt△AOE中，∵DE=9，AE=12，
∴OA2=OE2+AE2，
∴OA2=(OA−9)2+122，
∴⊙O的半径为12.5cm．
故答案为：12.5．
先根据平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到CD⊥AB，然后在Rt△AOE中利用勾股定理计算OA即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
18.【答案】12
【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC=BC=12AB=5，
在Rt△OAC中，OC=132−52=12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
19.【答案】(1)证明：如图，连接DI，
∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠CAB=∠BAD，∠BAD=∠BDC，
∵点F是AD的中点，
∴∠ACF=∠DCF，
∴I是△ADC的内心，
∴∠ADI=∠CDI，
∵∠BID=∠BAD+∠ADI，∠BDI=∠BDC+∠CDI，
∴∠BID=∠BDI，
∴BI=BD；
(2)连接OD，
设⊙O的半径为r，
∵OI=1，OE=2，
∴BE=r−2，BD=BE=r+2，
由勾股定理得：DE2=r2−22=(r+1)2−(r−2)2，
r2−6r−1=0，
r1=3+10，r2=3−10(舍)，
答：⊙O的半径是3+10．
【解析】(1)要证明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；
(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程得：DE2=r2−22=(r+1)2−(r−2)2，解方程可得结论．
本题考查了垂径定理，三角形的内心的性质，以及等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线是解题关键．
20.【答案】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE=BE=12AB=12×8=4，
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3，
∴ED=OD−OE=5−3=2，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【解析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE=BE=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
21.【答案】(1)证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∴BM=DM，
∴BM=DM．
(2)解：如图，连接OM．
∵DM=BM=4，OE⊥BM，
∴EM=BE=2，
∵OE=1，∠OEM=90°，
∴OM=OE2+EM2=12+22=5，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)想办法证明BM=DM即可解决问题．
(2)连接OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：解法一：(用垂径定理求)
如图，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F，
∴DF=AF，
又∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠FCA=25°，
∴AF的度数为25°，
∴AD的度数为50°；
解法二：(用圆周角求)如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠E=∠B=25°，
∴AD的度数为50°；
解法三：(用圆心角求)如图，连接CD，
∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A=65°，
∴∠ACD=50°，
∴AD的度数为50°．
【解析】因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考．
本题可以利用：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23.【答案】解：(1)过O作OH⊥AB于H，
∴AH=BH，CH=DH，
∴AH−CH=BH−DH，
∴AC=BD；
(2)连接OD，OB，
∵AB=10，
∴BH=12AB=5，
∵BD=2，
∴DH=3，
∵OD=5，
∴OH=OD2−DH2=4，
∴R=BH2+OH2=52+42=41．
【解析】(1)过O作OH⊥AB于H，根据垂径定理即可得到结论；
(2)连接OD，OB，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
本题考查了垂径定理．勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴BC=BD．
∴∠A=∠BCD；
(2)连接OC
∵直径AB⊥弦CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，∵OC=5，CE=4，
∴OE=52−42=3，
∴BE=OB−OE=5−3=2．
【解析】(1)根据等弧对等角证明即可；
(2)连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=12CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB−OE即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
25.【答案】解：(1)延长AC交BD于O，作OM⊥AB于M交EF于N，利用EF交OM于K．
∵∠CAB=∠DBA=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=200cm，
∵OM⊥AB，
∴OM=1003，
∵MN=2，
∴ON=1003−2=168(cm)，
∴EF的半径为168cm．
(2)连接OF.在Rt△OFK中，OK=OM−KM=170−72=98，
∴FK=OF2−OK2=1682−982≈137(cm)，
∵EF//AB，OM⊥AB，
∴OK⊥EF，
∴EK=KF，
∴EF=274(cm)，
【解析】(1)延长AC交BD于O，作OM⊥AB于M交EF于N，利用EF交OM于K.只要证明△AOB是等边三角形，即可解决问题；
(2)利用垂径定理，求出FK即可解决问题；
本题考查解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．