初中数学湘教版八年级下册1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）课后复习题

1.1直角三角形的性质和判定（1）同步练习湘教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，中，，，的平分线BE交AD于点F，AG平分给出下列结论：； ； ；正确结论有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 如图摆放的一副学生用直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，的度数是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在中，，，垂足为D，AF平分，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在直角中，，ED是AC的垂直平分线，交AB于点F，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到连接，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，，且，E、F是AD上两点，，若，，，则AD的长为     

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，，则   

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，D是AB上一点，将沿CD翻折后得到，边CE交AB于点若中有两个角相等，则的度数为

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10. 如图，中，，，，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是

A. 5
B.
C.
D. 8

11. 如图，中，，，将其折叠，使点A落在边CB上处，折痕为CD，则

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在中，为边CA延长线上一点，，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，锐角，则另一个锐角______．
14. 在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，则这个三角形中最小的内角为______度．
15. 两块含的直角三角板叠放成如图的样子，若，CD交OA于点E，则__________
    
    
     

16. 如图，在中，，D，E分别为AB，AC上一点，将，分别沿CD，DE折叠，点A、B恰好重合于点处．若，则____．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
    
    如图，若三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数；
    如图，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与间的数量关系．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，直线，的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，，，求的度数．
    
    
     

19. 已知中，．
    如图1，在中，，连接BD、CE，若，求证：；
    如图2，在中，，连接BE、CE，若，于点F，，，求BE的长；
    如图3，在中，，连接AD，若，求的值．

20. 如图，在中，，，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
    
    如图，过点A的直线与斜边BC不相交时，
    求证：．
    如图，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若，，试求EF的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在四边形ABCD中，，，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
    
    求证：；
    ，AC平分，，求BN的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
    
    
    如图1，点P在线段BC上，，求证：点P是的准外心；
    如图2，在中，，，，的准外心P在的直角边上，试求AP的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，如图，在中，AD、AE分别是的高和角平分线，若，
    
     

求的度数；

写出与的数量关系___________，并证明你的结论






 

24. 已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若，显然直线BD是的关于点B的二分割线．

在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是______．

已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足：

为最小角；

存在关于点B的二分割线，的度数是________．

已知，同时满足：

为最小角；

存在关于点B的二分割线，请求出的度数用a表示．






 

25. 问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
    
    特殊探究：若，则______度，______度，______度；
    类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
    类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：C．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，有即可得出答案．
【解答】
解：过点G作，

，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
故的度数是，
故选D．  

3.【答案】B
 

【解析】解：绕直角顶点C顺时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
故选：B．
根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得结果．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：在中，，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：C．
求出，，根据三角形外角性质得出，即可得出答案；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：是AC的垂直平分线，
，
，
，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，
，，，
，且，
，
，
故选：B．
由旋转的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质．
由“AAS”可证，可得，，进而可得DF，则可得AD的长．
【解答】
解：由，，，
得，，，，
，，
，，
，
．
故选D．  

8.【答案】B
 

【解析】，，
，
于点E，
，
，故选B．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：在中，，
，
，
，，
设，则，，
由折叠可知：，，
当时，
，
，
，
解得不存在；
当时，
，
解得，
即；
当时，
，
，
，
解得，
即，
综上，或，
故选：C．
由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3；
中，，，，
，
的长不能大于6．
故选：A．
利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知AP最大不能大于此题可解．
本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．在直角三角形ABC中，由与的度数，利用三角形的内角和定理求出的度数，再由折叠的性质得到，而为三角形的外角，利用三角形的外角性质即可求出的度数．
【解答】
解：在中，，，
，
由折叠可得：，
又为的外角，
，
则．
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
在中，，
．
故选：C．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；直角三角形的两个锐角互余．
 

13.【答案】
 

【解析】解：在中，锐角，则另一个锐角，
故答案为：
根据直角三角形的性质中两个锐角互余解答．
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形中两个锐角互余解答．
 

14.【答案】30
 

【解析】解：在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，
这个三角形中最小的内角为，
故答案为：30．
根据含角的直角三角形中，所对的边等于斜边的一半求出．
此题考查的知识点是含角的直角三角形，解答此题的关键是先确定角所对的边和斜边．
 

15.【答案】60
 

【解析】

【分析】
本题主要利用直角三角形两锐角互余的性质和三角形内角和定理．
根据，求出为，所以等于，再根据度数是，利用三角形内角和定理，即可等到等于．
【解答】
解：，，
，
，
又，
．
故答案为60．  

16.【答案】126
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由折叠的性质可得，，，，由直角三角形的性质和折叠的性质可求，，即可求的度数．
【解答】
解：将，分别沿CD，DE折叠，点A、B恰好重合于点处．
，，，，
，
，

，
，
，，


故答案为：  

17.【答案】解：如图，，
，
又，
，
又，
，
；

如图，，
，
即，
又，
．
 

【解析】依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到；
根据，可得，再根据，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
 

18.【答案】解：，
．
在中，，，
．
在中，，，
．
 

【解析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理可求出的度数．
本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键．
 

19.【答案】证明：如图1中，

，
，
，，
≌，
．
解：如图2中，连接BD．

，，
是等边三角形，
，
，

，
，
，，
≌，
，，
，
，，，，
，，
，
．
解：如图3中，作，使得，连接AM，BM．

，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
≌，
，
．
 

【解析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形与直角三角形．
证明≌可得结论．
如图2中，连接证明，求出EC，再证明，利用勾股定理即可解决问题．
如图3中，作，使得，连接AM，证明≌，推出，设，则，，由此即可解决问题．
 

20.【答案】证明：，，

．

．

，．

．

在和中，

．

由知，

，．

．

解：，，

．

．

，

．

．

在和中，

．

，．

．

【解析】见答案
 

21.【答案】证明：在中，、N分别是AC、CD的中点，
，，
在中，是AC中点，
，
，
．
解：，AC平分，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
由可知，

 

【解析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．
首先证明，根据即可解决问题．
 

22.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
≌，
，
点P是的准外心；
，，，
，
的准外心P在的直角边上，
当P在AB上时，
时，则，
，因为，所以不存在，
，因为，所以不存在，
当P在AC上时，
时，则，
，因为，所以不存在，
时，如图，
则P在BC的垂直平分线上，
设，则，
在中，
，
所以，
解得，，
综上，AP的长为 ，2， ．
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质及勾股定理的应用，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分情况进行讨论是解题的关键．
根据准外心的定义可知，当能够证明点P到两顶点的距离相等即可，首先证明≌得出，即可得出点P是的准外心；
分情况进行讨论，分为当P在AB边上和P在AC边上的两种情况进行求解即可．
当P在AB边上时则可得出，根据直角三角形的性质可得及不存在，
当P在AC上时则可得或，根据勾股定理即可得出，不存在．
 

23.【答案】解：，，，

．

是的角平分线，

．

为的外角，

．

是的高，

．

；

．
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，求出，然后利用计算即可．
根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系．
【解答】
见答案；
由知， 
又．
，
故答案为．  

24.【答案】解：
如图所示：

；
如图，若是最大角时，是等腰三角形，是直角三角形，

，
，
，且，
，
如图，是等腰三角形，是直角三角形，

，且，
，
若是，满足题意，
故或或．
 

【解析】

【分析】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
首先了解二分割线的定义，然后把分成角和角即可；
可以画出的三角形；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【解答】
解：如图所示：，

故答案为
如图所示：

则
故答案为；
见答案．  

25.【答案】解： ；90 ；35；
猜想：．
理由：在中，，
，，
，
，
又在直角中，，
，
，
．
判断：中的结论不成立．
如图中，结论：．
理由：设AB交PN于O．

，
，
．
如图中，结论：证明方法类似

如图中，结论：．

理由：，，
，
．
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，较难．
根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质可得和，则，从而得出结果；
结合三角形的内角和定理可得，结合直角三角形的性质，可得，从而得出结果；
依题意，进行分类讨论，结合图中三种情况分析即可，综合得出结论．
【解答】
解：，
，
在直角中，，
，

故答案为125，90，35．
见答案；
见答案．