2021学年1.4 角平分线的性质同步测试题
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1.4角平分线的性质同步练习湘教版初中数学八年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，在中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且的面积为16，则的面积是
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
- 如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且。若的周长是17，则的面积为
A. 34 B. 17 C. D. 4
- 如图，中，，的平分线BE和的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，过P作交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点则下列结论：；；；其中正确的是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 如图，AD是的角平分线，于点E，，，，则AC长是
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
- 如图，在中，，，AD平分交BC于点D，，垂足为若，则BC的长为
A. B. C. D. 3
- 如图，在等边中，AD是BC边上的高，，在下列结论中：≌；；≌；正确的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
- 如图，BD平分，于点E，，，则
A. 28
B. 21
C. 14
D. 7
- 三角形的角平分线、中线和高
A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内
- 如图，AD是的角平分线，，垂足为E，，，，则AC长是
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
- 如图，在中，，AD是角平分线，若，BD：：2，则点D到AB的距离是
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 3cm
- 中，，AD平分交边BC于点D，若，，则的面积是
A. 60 B. 45 C. 30 D. 15
- 如图，在中，AD平分，于点E，，，，则AC的长是
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，在中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC：：4，的面积是21，则的面积是______．
- 如图，OB，OC分别是、的角平分线，若，则______度．
|
- 如图，在中，，AD平分，于E，若，，则BE的长为______ ．
|
- 如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是的平分线，若，则的度数是______．
|
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分，若．
求的度数；
求的度数．
- 如图，求作一点P，使，并且点P到两边的距离相等不写作法，保留作图痕迹．
- 如图，在中，，CE平分，于D，于F，求的度数．
|
- 已知，在的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E．
如图1，当于D，于E，求证：．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
- 如图a，在中，，的平分线相交于点O，
若，，则的度数为______ ；
若，则的度数为______ ；
你能找出与之间的数量关系吗？注明理由．
如图b，点D是的两外角平分线BO，CO的交点，那么与有怎样的数量关系？注明理由．
- 如图，AB、CD相交于点O，OE是的平分线，，求的度数．
|
- 如图，已知BD为的平分线，，点P在BD上，于M，于N，求证：．
|
- 如图，在中，，CD为的角平分线．
求作：线段CD的垂直平分线EF，分别交AC，BC于点E，F，垂足为要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
求证：≌．
- 如图，已知AC平分，于E，于F，且．
求证：≌；
求证：．
|
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，点F是CE的中点，
的底是EF，的底是EC，即，高相等，
，
同理得，，
，且，
，
即阴影部分的面积为4．
故选B．
因为点F是CE的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，与同底，的高是高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高或底相等，其中一个三角形的底或高是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
作于E，于F，连结OA，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可。
【解答】
解：如图，作于E，于F，连结OA
点O是、角平分线的交点
，，即
故选A。
3.【答案】C
【解析】解：的角平分线BE和的外角平分线，
，
，
在中，，
，
，
，故本小题正确；
，已证，
，
为的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，；故正确；
，，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，故小题正确；
，，
，
，，
，
，
，
，，
与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
不成立，故本小题错误，
综上所述正确．
故选：C．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
先求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，；
根据直角的关系求出，然后利用“角角边”证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得；
根据，，可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，有直角三角形斜边大于直角边，，从而得出本小题错误．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
【解答】
解：过D作于F，
是的角平分线，，
，
，
的面积为10，
的面积为，
，
，
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
过点D作于F，根据角平分线的性质得到，利用含有30度的直角三角形性质及等腰直角三角形求得BD和CD，即可得到结论．
【解答】
解：过点D作于F，如图所示，
为的平分线，且于E，于F，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：等边中，AD是BC边上的高，
，，，
在与中
，
≌，故正确；
在与中
，
≌，故正确；
在与中，
，
，故正确；
同理，
，
，故正确；
故选：D．
结合角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用角平分线的性质定理即可解决问题．
【解答】
解：作于H．
平分，，，
，
．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
故选：C．
根据三角形的角平分线、中线和高的概念解答即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
9.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作于F，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】解：，BD：：2，
，
是角平分线，
点D到AB的距离等于CD，即点D到AB的距离为4cm．
故选：C．
先利用BD：：2计算出CD的长，然后根据角平分线的性质求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11.【答案】C
【解析】解：如图，作于E，
是的角平分线，
，，
，
的面积，
故选：C．
如图，作于E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到答案．
此题考查了角平分线的性质与三角形的面积问题．此题比较简单，解题的关键是掌握角平分线的性质，求得的高．
12.【答案】D
【解析】解：过D作于F．
平分，
．
，
，
．
13.【答案】28
【解析】解：由作法得AD平分，则点D到AB、AC的距离相等，
所以的面积：的面积：：4，
所以的面积．
故答案为28．
利用基本作图得到AD平分，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积：的面积：：4，从而可计算出的面积．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
14.【答案】140
【解析】解：、OC分别是和的角平分线，
，
，
，
．
故答案为：140．
根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数．
本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：平分，
又，，
，
，
，
故答案为4．
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
，，
射线OM是的平分线，
，
，
故答案为：．
先根据对顶角相等得出，再根据角平分线的定义得出，最后解答即可．
此题考查对顶角和角平分线的定义，关键是得出对顶角相等．
17.【答案】解：平分，，
，
；
，
．
【解析】直接利用角平分线的定义、结合对顶角的定义分析得出答案；
利用中所求，进而得出答案．
此题主要考查了角平分线的定义，正确得出的度数是解题关键．
18.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】连接CD，作线段CD的垂直平分线EF，作的角平分线OM，OM交EF于点P，点P即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
．
【解析】首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据CE平分求得的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得，再结合，就可求解．
此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：如图1，OM是的平分线，于D，于E，
．
上述结论仍然成立．理由如下：
过点C分别作，垂足为K，，垂足为H．
为的角平分线，且，，
，，
又与都为旋转角，
，
在与中，
≌，
．
【解析】与OA垂直时，根据角平分线的性质知．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得≌，进而可得出证明；
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．
21.【答案】；
【解析】解：，，，的平分线相交于点O，
，，
，
故答案为：；
，
，
，的平分线相交于点O，
，，
，
故答案为：；
，
理由是：，
，
，的平分线相交于点O，
，，
，
；
，
理由是：，，
，
点D是的两外角平分线BO，CO的交点，
，，
，
A.
求出，，根据三角形内角和定理求出即可；
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
根据三角形内角和定理求出，根据平分线定义求出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
根据三角形外角性质求出，，求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，求解过程类似．
22.【答案】解：，
，
是的平分线，
，
，
．
【解析】根据角平分线的定义和对顶角的性质解答．
本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和对顶角的性质：对顶角相等．
23.【答案】证明：为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
点P在BD上，，，
．
【解析】根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．
24.【答案】解：线段CD的垂直平分线EF，如图所示；
为的角平分线，
，
又，，
≌．
【解析】利用尺规作图，作出线段CD的垂直平分线即可；
根据ASA证明即可；
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】证明：是角平分线，于E，于F，
，，
在和中，
≌；
解：于E，于F，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
．
【解析】根据角平分线的性质得到，，即可得到结论；
由于E，于F，得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，由≌，得到，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌和≌是解题的关键．
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