数学九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用精品当堂达标检测题

3.5相似三角形的应用同步练习湘教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长为18cm，底边上的高为18cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是   

A. 第3张 B. 第4张 C. 第5张 D. 第6张

2. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何”译文：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影长为一丈五尺，同时立一根长为一尺五寸的标杆，它的影长为五寸，则竹竿的长为提示：1丈尺，1尺寸   

A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺

3. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是

A.  B.  C. 50  D. 60 

4. 如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是米，那么路灯A的高度AB等于

A. 米
B. 6米
C. 米
D. 8米

5. 如图，为了测量水塘边C、E两点之间的距离，A处可以看到C、E两点，取AC、AE上的B，D两点，使得已知米，米，米，则CE为米．

A. 30
B. 35
C. 40
D. 45

6. 如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离米，镜子与小芳的距离米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度米，铁塔AB的高度为根据光的反射原理，

A. 18m B. 15m C. 20m D. 16m

7. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是     

A.
B. 1cm
C.
D.  cm

9. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得，然后再在河岸上选点E，使得，设BC与AE交于点D，如图所示，测得米，米，米，那么这条河的大致宽度是

A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米

10. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是

A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米

11. 是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为

A. 12 m B. 3 m C.  m D.  m

12. 如图，阳光透过窗户洒落在地面上已知窗户AB高，光亮区的顶端E距离墙角C的距离，光亮区的底端D距离墙角C的距离，则窗户的底端B距离地面的高度   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，观测者目高，则树高AB约是          精确到

14. 如图，地面上的建筑物AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是          米

15. 如图，在中，，CD是斜边AB上的高．下列结论；；；，不正确的是______．
16. 如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，，米，米，米，则A，B两村间的距离为          米

17. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是          米平面镜的厚度忽略不计

18. 在中，，，，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则的最小值是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

19. 阅读下面材料，完成学习任务：
    数学活动  测量树的高度
    在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
    如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；
    将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；
    计算树的高度AB：设米，米．
    ，
    ∽
    
    任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．

20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
     

求证：∽

求这个正方形零件的边长．






 

21. 某校九年级同学在一次数学实践活动中，去测量学校的树高，小明这一组的测量方法如下：如图，在B处竖一标杆AB，已知标杆，小明站在点F处，眼睛E目测标杆顶部A与树顶C正好在同一视线上点F，B，D也在同一直线上这一组其他同学量得标杆到树的水平距离，小明到标杆的水平距离，小明的目高眼睛到脚底的距离根据这些数据，小明这一组同学很快就求出了树CD的高度你会吗请写出解答过程．

22. 如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部A，B，C，D在同一条直线上，测得，，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为，试确定楼的高度OE．
    
    
    
    
    
    
     
23. 问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边，高把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

初步思考：

试计算出正方形零件的边长；

深入探究：

李华同学通过探究发现如果要把按照图加工成三个相同大小的正方形零件，的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：_______直接写出结论，不用说明理由；

若可以按照图加工成四个大小相同的正方形，且，求证：．






 

24. 小亮想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，第一次他把镜子水平放置在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子水平放置在D点，人在G点正好看到树尖A，已知B、C、F、D、H在水平地面的同一直线上，小亮的眼睛距离地面，得，，，请你求出松树的高．

25. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端已知她的眼睛距地面高度米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角．

26. 在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直于地面的竹竿的影长为米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分米落在教学楼的第一级台阶上如图，落在地面上的影长为米，每级台阶高为米小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影长应该是米”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影长肯定比米要长”
     

你认为小玲和小强的说法对吗

请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度

要是没有台阶遮挡的话，树的影长是多少

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】略
 

2.【答案】B
 

【解析】 设竹竿的长为x尺，
竹竿的影长为一丈五尺尺，标杆长为一尺五寸尺，标杆的影长为五寸尺，
，
解得，
即竹竿的长为四十五尺或四丈五尺．
故选B．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设，表示出，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图

正方形的边


∽



∽

设，则，


在中，
即
解得
红、蓝两张纸片的面积之和



．
故选：A．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意可得，，即可得，设，，可得，求得y的值，进而求出x的值，即可求解．
【解答】
解：如图，

当王华在CG处时，∽，
，
当王华在EH处时，∽，
，
，
米，米，米，米，
设，，
，
解得，
则，
解得．
即路灯A的高度米．
故选：B．  

5.【答案】D
 

【解析】解：，
∽，
：：CE，
米，米，米，
：：CE，
米．
故选：D．
根据可得∽，再利用相似三角形的性质解答即可．
此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：由镜面对称可知：∽，
，
，
米．
故选：B．
利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB．
考查了相似三角形的性质，运用镜面对称性质，得到三角形相似，再由相似比三角形对应边成比例得出最后结果，比较简单．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
设，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明∽，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解答】
解：设，则，
四边形CDEF为正方形，
，，
∽，
，
，
在中，，即，
解得，，
，，，
剩余部分的面积，
故选A．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的应用，关键是过O作直线，EO延长线交CD于F，根据小孔成像原理可知∽，利用它们的对应高的比等于相似比即可求出CD的长．
【解答】
解：如图过O作直线，EO延长线交CD于F，

依题意知，，，，
，
 ∽ ，
又，OF分别是它们的高，
，
即，
 

故选：B．

9.【答案】C
 

【解析】解：，，
．
又，
∽．
，即．
解得：米．
故选：C．
先证明∽，然后依据相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，依据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
由已知得∽，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】
解：由题意知：光线AP与光线PC，，
∽，
，米．
故选B．  

11.【答案】D
 

【解析】解：，
∽，
，
，

故选：D．
由题意可知∽，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽CD的长．
本题考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：相似三角形对应高之比等于相似比．
 

12.【答案】A
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】54
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】解：中，，CD是斜边AB上的高，
，正确；
，正确；
，正确；
不一定成立，不正确；
故答案为：．
根据射影定理列出算式，判断即可．
本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
 

16.【答案】70
 

【解析】略
 

17.【答案】8
 

【解析】略
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，AF．

，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
的最小值是，
故答案为．
如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，由∽，推出，推出，推出，根据即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

19.【答案】解：设米，米．
，
∽
，
，
，
∽，
，
，
，
解得，
把代入中，
得解得
树的高度AB为15米．
 

【解析】设米，米．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．
 

20.【答案】证明：四边形EGHF是正方形，．∽．

解：设．∽， ．
．正方形零件的边长为．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：过点E作于G，交AB于点H．

易得，
，
，


即

，
答：树CD的高度为．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
，
∽，
，
即：，
，
，
答：楼的高度OE为32米．
 

【解析】【试题解析】

本题考查了相似三角形的应用，属于中档题．
根据得到∽，进行求解即可．

23.【答案】解：设正方形零件的边长为，则，，

，

，

，

，

，解得，即正方形零件的边长为24mm；

；

如图3，过点A作于点D，分别交EF、GH于点M、N，

设每个正方形的边长为a，

，

∽∽，

，

，解得，，

．

，，

，

．

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用解答本题的关键是掌握利用相似三角形的判定与性质定理解决实际问题的思路与方法．
首先设正方形零件的边长为xmm，证明，然后利用相似三角形的性质得出，进一步得到关于x的方程，解这个方程，即可求解；
首先证明≌，得出，然后证明∽，∽，再根据相似三角形的性质得出，设每个正方形的边长为a，则，，，，即可证明结论成立；
过点A作于点D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，首先∽∽，得出，进一步求出，，得出，再根据直角三角形的性质得出，即可证明结论成立．
【解答】
解：见答案；

，

，

在与中，

≌，

，

，

∽，

，

，

，

，

∽，

，

设每个正方形的边长为a，则，，

，，

；

见答案．

24.【答案】解：根据反射定律可以推出，，
，，，
∽、∽，
设，，
，
解得．
答；这棵松树的高为34米．
 

【解析】根据反射定律可以推出，，所以可得∽、∽，再根据相似三角形的性质解答．
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

25.【答案】解：如图，根据题意可得：

，，
，
，
又，
∽，
，
，
米．
答：教学大楼的高度AB是米．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．证明∽，得到，代入数据即可得到答案．
 

26.【答案】解：小玲的说法不对，小强的说法对．

根据题意画出示意图，如图所示，

同一时刻，物高与影长成比例，

，

米，米．

易知四边形DGFH是平行四边形，

米．

米，

米，

，米．

答：树的高度为8米．

由可知米，

故树的影长是米．

【解析】见答案