初中数学4.4 解直接三角形的应用精品课时作业

4.4解直角三角形的应用同步练习湘教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为   

A.
B.
C.
D.
 

2. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道C在同一水平面上为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为，则B，C两地之间的距离为   

A.
B.
C.
D.

3. 某堤的横断面如图，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是   

A.
B.
C.
D.

4. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离即BC的长为

A. 海里 B. 海里
C. 80海里 D. 海里

5. 小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了100m，则他升高了

A.  B. 50m C.  D. 100m

6. 小明同学想要测量如图所示的仙女峰的高度，他利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角为，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：，那么仙女峰的高度为参考数据：

A. 650 米 B. 580 米 C. 540 米 D. 520 米

7. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得米，，则小河宽PA等于

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由减至，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长参考数据：，，

A. 6米
B. 3米
C. 2米
D. 1米

9. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为，则M，N之间的距离为参考数据：，，，，结果保留整数

A.  B.  C.  D.

10. 一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，如图，他们首先在A处测得楼房顶部E的仰角为，然后沿着斜坡AB走了米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为，身高忽略不计已知斜坡AB的坡度，楼房EF底部距BC的高度CD为米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，则楼房自身高度EF大约为参考数据：，，   

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 某人沿坡度为的山路走了20m，则该人升高了   

A.  B.  C.  D.

12. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AD与AB的长度之比为   

A.
B.
C.
D.

 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，，坝高，坡角，，则          ．

14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为          ．

15. 如图所示，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为若测角仪的高度是，则建筑物AB的高度约为          结果保留小数点后一位，参考数据：，，
    
    
     

16. 某斜坡坡角的正弦值，则该斜坡的坡度为______．
17. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为______ 点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号
18. 如图，某货船以20海里小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里小时的速度由A向北偏西方向移动，距台风中心200海里的圆形区域包括边界都会受到影响．
    处是否会受到台风的影响，答：______请填“会”或“不会”；
    为避免受到台风的影响，该船应在______小时内卸完货物．结果保留根号

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
    
    求该斜坡的坡高BC；结果用最简根式表示
    为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，小明为了测量小河对岸的大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡AF的坡比为求大树BC的高度约为多少米，结果精确到

21. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，，其坡度为：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为：4，求斜坡AF的长度．结果精确到，参考数据：，

22. 2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔，，分别为62m，200m，若管道AB与水平线的夹角为，管道BC与水平线夹角为，求管道AB和BC的总长度结果保留根号．

23. 为了加强锻炼，王老师家里买了是一张多功能的哑铃凳，如图所示，其侧面可抽象成图，MN为支撑杆，M为靠背CH的中点，点N可在CB上滑动，通过调节螺母可将点N固定在BC上六个孔位处，靠背CH随之绕点C转动，当点N位于点E处时，当点N位于点F处时，，，，，坐凳．
    当点N从点E滑动到点F处时，求点M运动的路径长．
    在CH转动的过程中，求点H到水平地面I的最大距离．
    结果精确到参考数据：，，，，

24. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板，后支撑板，车杆AB与BC所成的．
    如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
    如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．参考数据：，，

25. 如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC上，在A处测得对岸的吴公塔D位于南偏东方向，往东走300米到达B处，测得对岸的吴公塔D位于南偏东方向．
    求吴公塔D到紫水河北岸AC的距离约为多少米？精确到1米，
    小薇继续向东走到轮船码头C处，测得对岸的吴公塔D位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B处到轮船码头大约几分钟？精确到1分钟

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】略
 

2.【答案】A
 

【解析】略
 

3.【答案】C
 

【解析】略
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
先添加垂线，根据题意得出和的度数，根据直角三角形的性质可得AH，利用勾股定理求出BH，根据角之间的关系可得，从而得出BC的长度．
【解答】解：过点A作于点H．

由题意，得，．
在中，海里，
所以海里．
又，
所以．
所以海里．
所以海里．  

5.【答案】A
 

【解析】解：由题意得，BC：：2，
设，，
则，
解得：．
故选：A．
根据题意作出图形，可得BC：：2，设，，根据勾股定理求出AC，然后根据，求出x的值．
此题考查了解直角三角线的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，并解直角三角形，注意掌握数形结合思想的应用．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：如图，过点B作于点D，
山坡BC的坡度为1：，
，
则．
为，
．
米，，
，
解得米．
答：仙女峰的高度约为580米，
故选：B．
如图，过点B作于点D，通过解直角和坡度的定义来求BD的长度即可．
本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

7.【答案】C
 

【解析】【试题解析】

解：，米，，
小河宽米．
故选：C．
根据正切函数可求小河宽PA的长度．
考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

8.【答案】D
 

【解析】解：在中，米，，
则米，
在中，，
米，
则调整后的楼梯会加长：米，
故选：D．
根据正弦的定义求出BD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：由题意得：，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
．
故选：C．
首先分析图形，根据题意得两个直角三角形、，通过解这两个直角三角形求得NO、MO的长度，进而利用即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：如图，过A作交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作于点J，

则四边形AHGJ与四边形DCGF都是矩形，米，．
在中，米，，由勾股定理易得米，米，
，，，设米，则米，米，
在中，，，解得，即米，
米，
故选C．

11.【答案】C
 

【解析】解：设该人升高了x米，则水平前进了米．
根据勾股定理可得，则，
故选C．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：在中，，即，，
在中，，即，
，，
故选C．
 

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，过点D作，垂足为点E，
则，，
在中，
，
，
，
即建筑物AB的高度约为．

16.【答案】1：
 

【解析】解；如图，设，
在中，，
则，
由勾股定理得，，
斜坡的坡度：，
故答案为：1：．
根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】米
 

【解析】解：过点D作于点E，过点C作于点F．

由题意得，，，，．
在中，，
，
即，
，
，
，
四边形BCFE是矩形，
．
在中，，
．
，
米．
答：教学楼BC高约米．
故答案为：米．
过点D作于点E，过点C作于点根据题意可得，，，再根据四边形BCFE是矩形知进而可得教学楼BC的高度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．
 

18.【答案】会 
 

【解析】解：由题意可知，海里，，
过点B作，垂足为M，
在中，海里，，
海里海里，
海里，
处会受到台风的影响，
故答案为：会；
设台风初次影响B处时，此时台风中心为N，则海里，如图，
在中，海里，海里，
海里，
海里，
因此需要的时间为：小时，
故答案为：．
求出AB，再通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系可求出BM，通过比较可得答案；
求出AN的长度，再根据路程、速度、时间之间的关系可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，作高构造直角三角形是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：在中，；
，
，
，
在中，，

，
，
．
综上所述，长度增加了2米．
 

【解析】运用勾股定理解题即可；
根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
 

20.【答案】解： 如图，作于点H，作于点G，则四边形DGCH为矩形，

斜坡AF的坡比为，
在中，，
．

，
，

米，
米，
设米，则米，
在中，
，
米，

米，
在中，
， ，
，
解得．

答：大树BC的高度约为米．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：，其坡度为：，
在中，，
解得．
四边形ABCD为矩形，
．
斜坡AF的坡度为：4，
，
，
在中，．
故斜坡AF的长度约为米．
 

【解析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：管道AB和BC的总长度为．
 

【解析】略
 

23.【答案】点M为CH的中点，，
．
当点N位于点E处时，
当点N位于点F处时，，又，
此时，
当点N从点E滑动到点F处时，点M运动的路径是以点为圆心，CM的长为半径，的圆心角所对的弧，
点M运动的路经长；

当点N位于点E处时，点H到水平地面l的距离最大，
如图，过点D作于点K，过点H作，交D的延长线于点J．

在中，，
在中，，
点H到水平地面l的最大距离．
 

【解析】先根据点M为CH的中点，，求出CM，再由当点N位于点E、F处求出，即可得知点M运动的路径是以点为圆心，CM的长为半径，的圆心角所对的弧，再求出该弧长即可；
当点N位于点E处时，点H到水平地面l的距离最大，在中解三角形求HJ，在中解三角形求DK，即可得知H到水平地面I的最大距离．
本题主要考查了锐角三角函数的应用、弧长的计算，确定出M运动的路径以及分析出点N位于点E处时点H到水平地面l的距离最大是解决此题的关键．
 

24.【答案】解：如图1，过点D作于点F，
由题意知，
，
．

如图2，过点D作于M，过点E作于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理可得，
则，
原来，
，
变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
 

【解析】如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论；
如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用
 

25.【答案】解：过点D作于点H，
由题意知，，，米，
，，
，
，
在中，
，
米；
由题意得，，，
在中，米，
在中，米，
米，
小薇从B处到轮船码头大约为分钟．
 

【解析】过点D作于点H，根据题意得，，，米，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论；
由题意得，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法构造直角三角形，难度一般．