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数学高中三年级 第一学期16.5二项式原理集体备课ppt课件
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这是一份数学高中三年级 第一学期16.5二项式原理集体备课ppt课件，共49页。PPT课件主要包含了二项式定理，r＋1，答案D，答案17等内容，欢迎下载使用。
1．会证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．能解决与二项展开式有关的简单问题.
1．二项式定理的证明．(难点)2．利用通项公式求特定项或其系数．(重点)3．二项式系数与二项展开式中某项的系数．(易混点)
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnr·an－rbr＋…＋Cnn·bn
1＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn
1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )A．－720 B．720C．－120 D．120解析： Tr＋1＝C10r(－x)r，令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3.答案： C
答案： －20
4．已知(1－2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3项，求x的取值范围．
[题后感悟] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更简便.
解析： (1)(a＋2b)4＝C40a4＋C41a3(2b)＋C42a2(2b)2＋C43a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
化简：Cn0(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCnk(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.由题目可获取以下主要信息：①展开式是关于x＋1的单项式；②x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[解题过程] 原式＝Cn0(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1·(－1)＋Cn2(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.[题后感悟] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些．
2.(1)设n为自然数，化简Cn0·2n－Cn1·2n－1＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.(2)设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于( )A．(x－2)4 B．(x－1)4C．x4 D．(x＋1)4
解析： (1)原式＝Cn0·2n·10－Cn12n－1·11＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.(2)S＝[(x－1)＋1]4＝x4.答案： (2)C
2．(2011·福建高考)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )A．80 B．40C．20 D．10解析： (1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C5r(2x)r＝2rC5rxr，令r＝2，得x2的系数为22·C52＝40.答案： B
先根据二项式系数比求出n，写出通项公式，再根据指定项的特点求解．
[规范解答] (1)依题意有Cn4∶Cn2＝14∶3，化简得(n－2)·(n－3)＝56，解之得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)．∴n的值为10.4分
[题后感悟] 求二项展开式特定项的一般步骤：
(1)用二项式定理证明：34n＋2＋52n＋1能被14整除；(2)求9192除以100的余数．[策略点睛]
[解题过程](1)证明：对被除式进行合理变形，把它写成恰当的二项式形式，使其展开后的每一项都含有除式的因式，即可证得整除．34n＋2＋52n＋1＝92n＋1＋52n＋1＝[(9＋5)－5]2n＋1＋52n＋1＝(14－5)2n＋1＋52n＋1＝142n＋1－C2n＋11×142n×5＋C2n＋12×142n－1×52－…＋C2n＋12n×14×52n－C2n＋12n＋1×52n＋1＋52n＋1＝14(142n－C2n＋11×142n－1×5＋C2n＋12×142n－2×52＋…＋C2n＋12n×52n)．上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除．
(2)方法一：9192＝(100－9)92＝10092－C921×10091×9＋C922×10090×92－…－C9291×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－C9291×10＋(－1)92＝1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－920＋1＝(1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－1 000)＋81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.
方法二：由9192＝(90＋1)92＝C920×9092＋C921×9091＋…＋C9290×902＋C9291×90＋1，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9291·90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.
[题后感悟] (1)整除性问题或求余数问题的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．③要注意余数的范围，a＝c·r＋b这式子中b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
(2)利用二项式证明多项式的整除问题关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则①f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除．②f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．
4.求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．
1．正确理解二项式定理(1)系数注意二项式系数Cnk与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可能为负．(2)通项通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，它是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，这里k＝0,1，…，n.它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数．
(3)二项式定理是一恒等式对任意的a，b，该等式均成立，通过对a，b取不同的特值，常可得到一些给解决某些问题带来方便的特殊等式．[特别提醒] 二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的第k＋1项是不同的，在解题时题中给出的二项式的两项是不能随便交换的，否则会出错误．
2．二项展开式的结构特征(1)它有n＋1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(4)二项展开式中，系数Cnk(k＝0,1,2，…，n)叫做第k＋1项的二项式系数，它们依次为：Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn.这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．
1．会证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．能解决与二项展开式有关的简单问题.
1．二项式定理的证明．(难点)2．利用通项公式求特定项或其系数．(重点)3．二项式系数与二项展开式中某项的系数．(易混点)
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnr·an－rbr＋…＋Cnn·bn
1＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn
1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )A．－720 B．720C．－120 D．120解析： Tr＋1＝C10r(－x)r，令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3.答案： C
答案： －20
4．已知(1－2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3项，求x的取值范围．
[题后感悟] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更简便.
解析： (1)(a＋2b)4＝C40a4＋C41a3(2b)＋C42a2(2b)2＋C43a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
化简：Cn0(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCnk(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.由题目可获取以下主要信息：①展开式是关于x＋1的单项式；②x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[解题过程] 原式＝Cn0(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1·(－1)＋Cn2(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.[题后感悟] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些．
2.(1)设n为自然数，化简Cn0·2n－Cn1·2n－1＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.(2)设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于( )A．(x－2)4 B．(x－1)4C．x4 D．(x＋1)4
解析： (1)原式＝Cn0·2n·10－Cn12n－1·11＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.(2)S＝[(x－1)＋1]4＝x4.答案： (2)C
2．(2011·福建高考)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )A．80 B．40C．20 D．10解析： (1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C5r(2x)r＝2rC5rxr，令r＝2，得x2的系数为22·C52＝40.答案： B
先根据二项式系数比求出n，写出通项公式，再根据指定项的特点求解．
[规范解答] (1)依题意有Cn4∶Cn2＝14∶3，化简得(n－2)·(n－3)＝56，解之得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)．∴n的值为10.4分
[题后感悟] 求二项展开式特定项的一般步骤：
(1)用二项式定理证明：34n＋2＋52n＋1能被14整除；(2)求9192除以100的余数．[策略点睛]
[解题过程](1)证明：对被除式进行合理变形，把它写成恰当的二项式形式，使其展开后的每一项都含有除式的因式，即可证得整除．34n＋2＋52n＋1＝92n＋1＋52n＋1＝[(9＋5)－5]2n＋1＋52n＋1＝(14－5)2n＋1＋52n＋1＝142n＋1－C2n＋11×142n×5＋C2n＋12×142n－1×52－…＋C2n＋12n×14×52n－C2n＋12n＋1×52n＋1＋52n＋1＝14(142n－C2n＋11×142n－1×5＋C2n＋12×142n－2×52＋…＋C2n＋12n×52n)．上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除．
(2)方法一：9192＝(100－9)92＝10092－C921×10091×9＋C922×10090×92－…－C9291×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－C9291×10＋(－1)92＝1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－920＋1＝(1092－C921×1091＋C922×1090－…＋C9290×102－1 000)＋81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.
方法二：由9192＝(90＋1)92＝C920×9092＋C921×9091＋…＋C9290×902＋C9291×90＋1，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9291·90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.
[题后感悟] (1)整除性问题或求余数问题的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．③要注意余数的范围，a＝c·r＋b这式子中b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
(2)利用二项式证明多项式的整除问题关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则①f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除．②f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．
4.求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．
1．正确理解二项式定理(1)系数注意二项式系数Cnk与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可能为负．(2)通项通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，它是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，这里k＝0,1，…，n.它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数．
(3)二项式定理是一恒等式对任意的a，b，该等式均成立，通过对a，b取不同的特值，常可得到一些给解决某些问题带来方便的特殊等式．[特别提醒] 二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的第k＋1项是不同的，在解题时题中给出的二项式的两项是不能随便交换的，否则会出错误．
2．二项展开式的结构特征(1)它有n＋1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(4)二项展开式中，系数Cnk(k＝0,1,2，…，n)叫做第k＋1项的二项式系数，它们依次为：Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn.这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．
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