数学八年级下册2.1 一元二次方程优秀习题

2.1一元二次方程同步练习浙教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是

A.  B.  C.  D.

3. 方程的二次项系数和一次项系数分别为

A. 3和 B. 2和 C. 2和3 D. 和2

4. 已知是方程的一个解，则

A. 2 B.  C.  D. 4

5. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列方程是关于x的一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.  C.  D.

9. 下列方程是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

10. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为

A. 1 B.  C.  D. 0

12. 下列方程是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知方程的一个根是2，则k的值为______．
14. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为______．
15. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
16. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知关于x，y的方程组与的解相同．
    求a，b的值；
    若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于x的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知是的一个根，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．

请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果．

若m，n都是方程的解时，则小明获胜若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大






 

20. 若是关于x的一元二次方程，求a，b的值下面是两位同学的解法．

甲：根据题意，得解得

乙：根据题意，得或解得或

你认为上述两位同学的解法是否正确为什么如果都不正确，请给出正确的解法．






 

21. 已知m是方程的一个根，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．

方程的中点值是_____．

已知的中点值是3，其中一个解是2，求mn的值．






 

23. 当k取何值时，关于x的方程．
    是一元一次方程？
    是一元二次方程？
    
    
    
    
    
    
     
24. 关于x的一元二次方程化为一般形式后为，试求b，c的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 先化简，再求值：，其中a是方程的解．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：方程为一元一次方程，不符合题意；
B.方程是二元一次方程，不符合题意；
C.方程是一元二次方程，符合题意；
D.方程是分式方程，不符合题意，
故选C．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：
二次项系数为2，一次项系数为，
故选：B．
根据方程得出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，能理解题意是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：把代入方程得，解得．
故选：A．
直接把代入方程得关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
B.该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
C.此方程符合一元二次方程，符合题意；
D.此方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义解答．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：A、不符合一元二次方程的定义，故此选项错误；
B、含有两个未知数，故此选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、方程二次项系数整理后为0，故错误；
故选：C．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、时，是一元一次方程，故B错误；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；
B、是二元二次方程，故B不合题意；
C、是分式方程，故C不合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0．
本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：由原方程，得
，
即，
故选：A．
方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：b，c是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：把代入方程
得，解得，，
而，
所以．
故选：A．
把代入方程得，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：A：是一元二次方程；
B：不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
C：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
D：，当时，是一元一次方程，所以不是一元二次方程；
故选：A．
利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
 

13.【答案】8
 

【解析】解：把代入得，
解得．
故答案为8．
把代入得，然后解关于k的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】2
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】
解：关于x的一元二次方程的一个根为1，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：2．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【解答】
解：把代入得，解得，
，
．
故答案为．  

16.【答案】2020
 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：2020．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

17.【答案】解：由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，
代入原方程组得，，；
当，时，关于x的方程就变为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形．
 

【解析】本题考查一元一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
将a、b的值代入关于x的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
 

18.【答案】解：是方程的一个根，

．
．

．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：画树状图如图所示：

，n都是方程的解，
，或，或，或，．
由树状图得：共有12种等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4种，
m，n都不是方程的解的结果有2种，
小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，
小明获胜的概率大．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：都不正确，均考虑不全面．
正确解法如下：

欲使是关于x的一元二次方程，则或或或或

解得或或或或

【解析】见答案
 

21.【答案】解：为一元二次方程的一个根．
，
即，
．
 

【解析】利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

22.【答案】解：；
，
，
把代入得，解得，
．
 

【解析】

解答：，
方程的中点值为4；
故答案为4；
见答案．
【分析】
根据方程的中点值的定义计算；
利用方程的中点值的定义得到，再把代入计算出n的值，然后计算mn．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．  

23.【答案】解：，
当且时，方程为一元一次方程，
即，
所以当时，方程为一元一次方程；

，
当时，方程为一元一次方程，
即，
所以当时，方程为一元二次方程．
 

【解析】根据一元一次方程的定义得出且，求出即可；
根据一元二次方程的定义得出，求出即可．
本题考查了一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，能根据定义得出关于k的式子是解此题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
所以，，
解得，．
 

【解析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为，于是得到，，然后解方程得到b、c的值．
本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．
 

25.【答案】解：



，
由，得或，
，
，
，
当时，原式．
 

【解析】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后方程可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．