浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法精品课后测评

2.2一元二次方程的解法同步练习浙教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设a、b是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是

A.  B. ，
C.  D. ，

2. 若方程的两个实数根恰好是直角的两边的长，则的周长为

A. 12 B.  C. 12或 D. 11

3. 用公式法解方程时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次是

A. 2，3，1 B. 0，2， C. 2，3， D. 2，，

4. 方程的根是

A.  B.
C. ， D. ，

5. 一元二次方程的根为

A.  B.
C. ， D. ，

6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

9. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

10. 关于x的一元二次方程有两个实根，则实数k的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

11. 关于x的一元二次方程的根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

12. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 方程的解为______．
14. 若实数a、b满足，则______．
15. 已知关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是______．
16. 已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设则原方程可化为解得，当时，即解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，请利用这种方法解方程．
    
    
    
    
    
    
     
18. 阅读下面的例题：
    解方程的过程如下：
    当时，原方程化为，解得：，舍去．
    当时，原方程可化为，解得：，舍去．
    原方程的解：，．
    请参照例题解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
    求m的取值范围；
    若m为满足条件的最大整数，求方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解方程：
    ．
    用配方法解．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知关于x的一元二次方程．
    当时，判断方程的根的情况；
    当时，求方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，关于x的一元二次方程，当k取何值时．
    方程有两个不相等的实数根？
    方程有两个相等的实数根？并求出这两个等根．
    
    
    
    
    
    
     
24. 解方程．
    
    
    
    
    
    
     
25. 阅读理解：

阅读下列材料，回答所提问题后再模仿解方程：

解方程，

这是个一元四次方程，通常通过换元，从而降次．

设，则，

代入原方程化为一元二次方程：，

解得，．

当时，，

得，；

当时，，

得，；

所以原方程的根为，，，．

在由原方程得到方程的过程，利用换元法，达到降次目的，体现了数学的转化思想．

解决问题：

请用上述方法解答：已知实数x，y满足，求的值；

请用上述方法试解下列方程：．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
，
整理得：，即，
解得：．
故选：C．
根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法以及新定义，弄清新定义是解题关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：，
或，
所以，，
所以直角三角形的两边为3，4，
当4为直角边时，斜边长，三角形的周长为；
当4为斜边时，另一条直角边长，三角形的周长为．
故选：C．
先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两边为3，4，然后进行讨论：当4为直角边时，利用勾股定理计算斜边长，从而得到此时三角形的周长；当4为斜边时，利用勾股定理计算出另一条直角边长，从而得到此时三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．同时也考查了勾股定理及分类讨论思想．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：化为一般式：，
，，，
故选：D．
根据一元二次方程的公式法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：
，
解得：，．
故选：C．
直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：原方程可化为：，
或；
解得，；故选C．
方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：中，有两个不相等实数根；
B.中，有两个不相等实数根；
C.，即中，有两个不相等实数根；
D.中，没有实数根；
故选：D．
根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：A、这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、这里，，，
，
方程有两个相等的实数根，不合题意；
C、这里，，，
，
方程没有实数根，符合题意；
D、方程即为，这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，不合题意；
故选：C．
找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，故选项A有两个不同的实数根；
，故选项B有两个相同的实数根；
，故选项C有两个不同的实数根；
，故选项D有两个不同的实数根；
故选：D．
根据判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个实根，
，
解得：且．
故选：C．
由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：，
，
即不论k为何值，，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
先根据根的判别式求出“”的值，再判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：，
，
则，
故选：D．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

13.【答案】，
 

【解析】解：，
，
，，
故答案为：，．
提公因式x，可分解因式，解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，属于基础题，掌握提公因式法是关键．
 

14.【答案】或4
 

【解析】解：设，则由原方程得到：，
整理得：，
解得或，
即或．
故答案是：或4．
设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解新方程求得t的值即可．
本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
 

15.【答案】且
 

【解析】解：当，解，原方程变形为，解得；
当，即，则，
解得：，
即当，且时，原方程有两个不相等实数根，
所以m的取值范围为：且．
故答案为：且．
分类讨论：当，解，原方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当，即，方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后综合两种情况即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

16.【答案】
 

【解析】解：关于x的方程没有实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

17.【答案】解：设，则原方程可化为：，即
或．
当时，，解得；
当时，，
解得．
综上所述，原方程的解是：，．
 

【解析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得t即的值
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
 

18.【答案】解：当时，原方程化为，解得：，舍去．
当时，原方程可化为，解得：， 舍去．
原方程的解：，．
 

【解析】分类讨论：当时，原方程化为；当时，原方程可化为，然后利用因式分解法解两个方程，再利用m的范围确定满足原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

19.【答案】证明：对于一元二次方程，
，
方程总有两个实数根．
 

【解析】计算出方程根的判别式的值，判断出其符号即可证得结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
 

20.【答案】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
，
的最大整数值为：1，
当时，
，
，
解得：，．
 

【解析】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的取值范围是解题关键．
直接利用，进而得出m的取值范围；
利用中所求m的范围得出m的值，代入解方程，求解即可．
 

21.【答案】解：，
，
，
或，
解得，，；
，
，
，
，
，
或，
，．
 

【解析】整理后，利用因式分解法解方程即可；
利用配方法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，，
所以方程没有实数根；
当时，方程变形为，
，
或，
所以，．
 

【解析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
当时，方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

23.【答案】解：根据题意得，
解得；
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
．
 

【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
由题意得出，则可得出答案．
本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

24.【答案】解：，
，

，．

【解析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程．观察原方程，依据二次三项式的因式分解法进行求解，便可得到本题答案．
 

25.【答案】解：设，
原方程可化为，
即，
因式分解得：，
解得：，，
，

设，
原方程可化为，
因式分解得：，
解得：，．
当时，原式可化为，
因式分解得，
解得：，；
当时，得方程，
，
此方程无实根，
原方程的解为，．
 

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程和换元法的使用．
利用换元法，设，将原方程转化为，解出方程中a的值，再根据判断即可得出答案
利用换元法，设，将原方程化为，解出方程中m的值，再分别将m的值代入到方程中，根据因式分解和根的判别式分别解出方程中x的值即可得出答案．