2021学年第11章 数的开方综合与测试单元测试课后复习题

 第11章 数的开方

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．一个正数的正的平方根是m，那么比这个正数大1的数的平方根是（　　）

A．m2+1 B．± C． D．±

【考点】平方根．

【分析】这个正数可用m表示出来，比这个正数大1的数也能表示出来，开方可得出答案．

【解答】解：由题意得：这个正数为：m2，

比这个正数大1的数为m2+1，

故比这个正数大1的数的平方根为：±，

故选D．

【点评】本题考查算术平方根及平方根的知识，难度不大，关键是根据题意表示出这个正数及比这个正数大1的数．

2．一个数的算术平方根是，这个数是（　　）

A．9 B．3 C．23 D．

【考点】算术平方根．

【分析】根据算术平方根的定义解答即可．

【解答】解：3的算术平方根是，

所以，这个数是3．

故选B．

【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

3．已知a的平方根是±8，则a的立方根是（　　）

A．2 B．4 C．±2 D．±4

【考点】立方根；平方根．

【分析】根据乘方运算，可得a的值，根据开方运算，可得立方根．

【解答】解；已知a的平方根是±8，

a=64，

=4，

故选：B．

【点评】本题考查了立方根，先算乘方，再算开方．

4．下列各数，立方根一定是负数的是（　　）

A．﹣a B．﹣a2 C．﹣a2﹣1 D．﹣a2+1

【考点】立方根．

【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论．

【解答】解：∵﹣a2﹣1≤﹣1，

∴﹣a2﹣1的立方根一定是负数．

故选C．

【点评】本题考查了立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题的关键．

5．已知+|b﹣1|=0，那么（a+b）2007的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．32007 D．﹣32007

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【分析】本题首先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”得到关于a,b的方程组，然后解出a,b的值，再代入所求代数式中计算即可．

【解答】解：依题意得：a+2=0，b﹣1=0

∴a=﹣2且b=1，

∴（a+b）2007=（﹣2+1）2007=（﹣1）2007=﹣1．

故选A．

【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：

（1）绝对值；

（2）偶次方；

（3）二次根式（算术平方根）．

当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

6．若=1﹣x，则x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1﹣x≥0．

【解答】解：由于二次根式的结果为非负数可知，

1﹣x≥0，解得x≤1，

故选D．

【点评】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．

7．在﹣，，，﹣，2.121121112中，无理数的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：﹣，，﹣是无理数，

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

8．若a＜0，则化简||的结果是（　　）

A．0 B．﹣2a C．2a D．以上都不对

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据=|a|，再根据绝对值的性质去绝对值合并同类项即可．

【解答】解：原式=||a|﹣a|=|﹣a﹣a|=|﹣2a|=﹣2a，

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是掌握=|a|．

9．实数a，b在数轴上的位置如图，则有（　　）

A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．﹣b＞a

【考点】实数与数轴．

【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的定义，不等式的性质，可得答案．

【解答】解：

A、数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，b＞a，故A正确；

B绝对值是数轴上的点到原点的距离，|a|＞|b|，故B正确；

C、|﹣a|＞|b，|得﹣a＞b，故C错误；

D、由相反数的定义，得﹣b＞a，故D正确；

故选：C．

【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的定义，不等式的性质是解题关键．

10．下列命题中正确的个数是（　　）

A．带根号的数是无理数 B．无理数是开方开不尽的数

C．无理数就是无限小数 D．绝对值最小的数不存在

【考点】命题与定理．

【分析】根据各个选项中的说法正确的说明理由，错误的说明理由或举出反例即可解答本题．

【解答】解：∵，故选项A错误；

无理数是开放开不尽的数，故选项B正确；

无限不循环小数是无理数，故选项C错误；

绝对值最小的数是0，故选项D错误；

故选B．

【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是明确题意，正确的命题说明理由，错误的命题说明理由或举出反例．

二、填空题

11．若x2=8，则x=　±2　．

【考点】平方根．

【分析】利用平方根的性质即可求出x的值．

【解答】解：∵x2=8，

∴x=±=±2，

故答案为±2．

【点评】本题考查平方根的性质，利用平方根的性质可求解这类型的方程：（x+a）2=b．

12．的平方根是　±2　．

【考点】平方根；算术平方根．

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：的平方根是±2．

故答案为：±2

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

13．如果有意义，那么x的值是　±　．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得：﹣（x2﹣2）2≥0，再解即可．

【解答】解：由题意得：﹣（x2﹣2）2≥0，

解得：x=±，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

14．a是4的一个平方根，且a＜0，则a的值是　﹣2　．

【考点】平方根．

【分析】4的平方根为±2，且a＜0，所以a=﹣2．

【解答】解：∵4的平方根为±2，a＜0，

∴a=﹣2，

故答案为﹣2．

【点评】本题考查平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

15．当x=　﹣2　时，式子+有意义．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得，x+2≥0，﹣x﹣2≥0，

解得，x=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

16．若一正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，则a=　1或﹣1　．

【考点】平方根；解一元一次方程．

【专题】计算题．

【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，分2a﹣1与﹣a+2是同一个平方根与两个平方根列式求解．

【解答】解：①2a﹣1与﹣a+2是同一个平方根，则

2a﹣1=﹣a+2，

解得a=1，

②2a﹣1与﹣a+2是两个平方根，则

（2a﹣1）+（﹣a+2）=0，

∴2a﹣1﹣a+2=0，

解得a=﹣1．

综上所述，a的值为1或﹣1．

故答案为：1或﹣1．

【点评】本题考查了平方根与解一元一次方程，注意平方根是同一个平方根的情况，容易忽视而导致出错．

17．计算： +=　1　．

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．

【解答】解： +=π﹣3+4﹣π=1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．

18．如果=4，那么a=　±4　．

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据二次根式的性质得出a的值即可．

【解答】解：∵ =4，

∴a=±4，

故答案为±4．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握a2=16，得出a=±4是解题的关键．

19．﹣8的立方根与的算术平方根的和为　1　．

【考点】立方根；算术平方根．

【分析】﹣8的立方根为﹣2，的算术平方根为3，两数相加即可．

【解答】解：由题意可知：﹣8的立方根为﹣2，的算术平方根为3，

∴﹣2+3=1，

故答案为1．

【点评】本题考查立方根与算术平方根的性质，属于基础题型．

20．当a2=64时， =　±2　．

【考点】立方根；算术平方根．

【分析】由于a2=64时，根据平方根的定义可以得到a=±8，再利用立方根的定义即可计算a的立方根．

【解答】解：∵a2=64，

∴a=±8．

∴=±2．

【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．

21．若|a|=， =2，且ab＜0，则a+b=　4﹣　．

【考点】实数的运算．

【分析】根据题意，因为ab＜0，确定a、b的取值，再求得a+b的值．

【解答】解：∵ =2，

∴b=4，

∵ab＜0，

∴a＜0，

又∵|a|=，

则a=﹣，

∴a+b=﹣+4=4﹣．

故答案为：4﹣．

【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的非负性．

22．若a、b都是无理数，且a+b=2，则a，b的值可以是　π；2﹣π　（填上一组满足条件的值即可）．

【考点】无理数．

【专题】开放型．

【分析】由于初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…的数，而本题中a与b的关系为a+b=2，故确定a后，只要b=2﹣a即可．

【解答】解：本题答案不唯一．

∵a+b=2，

∴b=2﹣a．

例如a=π，则b=2﹣π．

故答案为：π；2﹣π．

【点评】本题主要考查了无理数的定义和性质，答案不唯一，解题关键是正确理解无理数的概念和性质．

23．绝对值不大于的非负整数是　0，1，2　．

【考点】估算无理数的大小．

【分析】先估算出的值，再根据绝对值的性质找出符合条件的所有整数即可．

【解答】解：∵4＜5＜9，

∴2＜＜3，

∴符合条件的非负整数有：0，1，2．

故答案为：0，1，2．

【点评】本题考查的是估算无理数的大小及绝对值的性质，根据题意判断出的取值范围是解答此题的关键．

24．请你写出一个比大，但比小的无理数　+　．

【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

【解答】解：写出一个比大，但比小的无理数+，

故答案为： +．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

25．已知+|y﹣1|+（z+2）2=0，则（x+z）2008y=　1　．

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y﹣1=0，z+2=0，

解得x=3，y=1，z=﹣2，

所以，（3﹣2）2008×1=12008=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

三、解答题（共40分）

26．若5x+19的算术平方根是8，求3x﹣2的平方根．

【考点】算术平方根；平方根．

【分析】先依据算术平方根的定义得到5x+19=64，从而可术的x的值，然后可求得3x﹣2的值，最后依据平方根的定义求解即可．

【解答】解：∵5x+19的算术平方根是8，

∴5x+19=64．

∴x=9．

∴3x﹣2=3×9﹣2=25．

∴3x﹣2的平方根是±5．

【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．

27．计算：

（1）+；      

（2）++．

【考点】实数的运算．

【专题】计算题；实数．

【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：（1）原式=5﹣2=3；   

（2）原式=﹣3+5+2=4．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

28．解方程．

（1）（x﹣1）2=16；               

（2）8（x+1）3﹣27=0．

【考点】立方根；平方根．

【分析】（1）两边直接开平方即可；

（2）首先将方程变形为（x+1）3=，然后把方程两边同时开立方即可求解．

【解答】解：（1）由原方程直接开平方，得

x﹣1=±4，

∴x=1±4，

∴x1=5，x2=﹣3；

（2）∵8（x+1）3﹣27=0，

∴（x+1）3=，

∴x+1=，

∴x=．

【点评】本题考查了平方根、立方根的性质与运用，是基础知识，需熟练掌握．

29．将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列．

2，，﹣，0，﹣．

【考点】实数大小比较．

【分析】把2，，﹣，0，﹣分别在数轴上表示出来，然后根据数轴右边的数大于左边的数即可解决问题．

【解答】解：如图，

根据数轴的特点：数轴右边的数字比左边的大，

所以以上数字的排列顺序如下：2＞＞0＞﹣＞﹣．

【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答本题时，采用的是数形结合的数学思想，采用这种方法解题，可以使知识变得更直观．

30．著名的海伦公式S= 告诉我们一种求三角形面积的方法，其中p表示三角形周长的一半，a,b,c分别三角形的三边长，小明考试时，知道了三角形三边长分别是a=3 cm，b=4 cm，c=5 cm，能帮助小明求出该三角形的面积吗？

【考点】二次根式的应用．

【分析】先根据BC,AC,AB的长求出P，再代入到公式S=，即可求得该三角形的面积．

【解答】解：∵a=3 cm，b=4 cm，c=5 cm，

∴p===6，

∴S===6（cm2），

∴△ABC的面积6 cm2．

【点评】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积和海伦公式是本题的关键．

31．已知实数a,b,c,d,m，若a、b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根．

【考点】实数的运算．

【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b，cd及m的值，代入计算即可求出平方根．

【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，

当m=±2时，原式=5，

5的平方根为±．

【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

32．已知实数a，b满足条件+（ab﹣2）2=0，试求+++…+的值．

【考点】分式的化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．

【分析】根据+（ab﹣2）2=0，可以求得a,b的值，从而可以求得+++…+的值，本题得以解决．

【解答】解：∵ +（ab﹣2）2=0，

∴a﹣1=0，ab﹣1=0，

解得，a=1，b=2，

∴+++…+

=…+

=+…+

=

=．

【点评】本题考查分式的化简求值、偶次方、算术平方根，解题的关键是明确分式化简求值的方法．