2021学年第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教案设计

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这是一份2021学年第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教案设计，共4页。教案主要包含了设计意图，性质证明等内容，欢迎下载使用。

2.3幂函数

（一）实例观察，引入新课

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数（y=x）

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数

（y=x2）

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数

（y=x3）

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= a是S的函数（y=）

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1）

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.

（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义

一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，

其中x为自变量，ɑ　为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

2.幂函数的图像与简单性质

同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）

不妨也找出典型的函数作为代表：

y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像

问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？

学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.

问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？

学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.

教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.

问题五：所有图像都过哪些点，为什么？

学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.

问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.

问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？

学生反应：当0<x<1时，指数小的图像在上方，当x>1时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.

教师活动：在0<x<1内任取个x值，例如a，肯定有o<a<1,此时联系到指数函数的单调性，有指数小的函数值越大，同样，当x>1时，指数大的函数值就大.

【总结】

幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：

	y=x	y=x2	y=x3	y=	y=x-1
定义域	R	R	R	[0，+∞)	{x︱x≠0}
值域	R	[0，+∞)	R	[0，+∞)	{y︱y≠0}
单调性	增	(-∞,0)增 [0，+∞)减	增	增	(-∞,0)减（0+∞)减
奇偶性	奇	偶	奇	非奇非偶	奇
公共点	（1,1）