高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性教案，共10页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，错因分析，防范措施等内容，欢迎下载使用。
1．3 函数的基本性质
1．3.2 奇偶性
●三维目标
1．知识与技能
(1)能从数和形两个角度认识函数奇偶性；
(2)能判断一些简单函数的奇偶性．
2．过程与方法
经历奇偶性概念的形成过程，提高抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合的数学思想；
(2)通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度．
●重点难点
重点：函数奇偶性的概念和几何意义．
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程．
重难点的突破：函数的奇偶性实质就是函数图象的对称性，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，先让学生观察一组图形(关于原点对称或y轴对称)，从中寻找它们的共性．由于“数”与“形”有着密切的联系，为了便于从数值角度研究图象的对称，可提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇(偶)函数的概念，最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．让学生在“观察—归纳—检验—应用”的学习过程中，
在掌握知识的同时培养数形结合的意识．
【问题导思】
考察下列两个函数：
(1)f(x)＝－x2；(2)f(x)＝|x|.
1．这两个函数的图象有何共同特征？
【提示】 图象关于y轴对称．
2．对于上述两个函数，f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(3)＝f(－3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)＝f(－x)．反之，若f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)图象特征：图象关于y轴对称.
【问题导思】
函数f(x)＝x及f(x)＝eq \f(1,x)的图象如图所示．
1．两函数图象有何共同特征？
【提示】 关于原点对称．
2．对于上述两个函数f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(－1)＝－f(1)，f(－2)＝－f(2)，f(－3)＝－f(3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)图象特征：图象关于原点对称.
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)；
(4)f(x)＝0.
【思路探究】 eq \x(定义域是否关于原点对称)→eq \x(f－x是否等于±fx)→eq \x(下结论)
【自主解答】 (1)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)∵f(x)的定义域为R，又f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
1．本题(3)在求解过程中，若先对f(x)化简得到f(x)＝2x，就会得出f(x)为奇函数的错误．
2．定义法判断函数奇偶性的步骤
下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－eq \f(1,x)；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3x，x∈[－1,2]．
【解析】 y＝－eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数；f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以是偶函数；y＝2x＋1的定义域为R，图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，是非奇非偶函数；f(x)＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
【答案】 ①
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(4,3)D．2
【思路探究】
eq \x(fx为偶函数)eq \x(定义域[a－1，2a]关于原点对称)eq \x(f－x＝fx)
【自主解答】 因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0，
解得a＝eq \f(1,3).所以f(x)＝eq \f(1,3)x2＋(b－1)x＋1＋b.
又因为f(－x)＝f(x)，所以eq \f(1,3)x2－(b－1)x＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋(b－1)x＋1＋b，
由对应项系数相等，得－(b－1)＝b－1.所以b＝1，所以a＋b＝eq \f(4,3).
【答案】 C
1．本题中由f(－x)＝f(x)求b时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．
2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略
(1)定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．
函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.
【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x，由对应项系数相等得，a＝0.
【答案】 0
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x0的解析式)eq \(――→,\s\up7(定义))eq \x(求fx)
【自主解答】 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x0,0， x＝0,2x2＋3x－1，x