数学必修12.2.2对数函数及其性质教案

这是一份数学必修12.2.2对数函数及其性质教案，共7页。

（一）教学目标
1．知识技能
（1）掌握对数函数的单调性.
（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.
2．过程与方法
（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.
（2）培养学生的数学应用的意识.
3．情感、态度与价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化.
（二）教学重点、难点
1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.
2、难点：不同底数的对数比较大小.
（三）教学方法
启发式教学
利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分和两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.
对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.
（四）教学过程
备选例题
例1 比较下列各组数的大小：
（1）lg0.7 1.3和lg0.71.8；
（2）lg35和lg64.
（3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n＞1)；
【解析】（1）对数函数y = lg0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以lg0.71.3＞
（2）lg35和lg64的底数和真数
都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.
因为lg35＞lg33 = 1 = lg66＞lg64，所以lg35＞lg64.
（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论.
若1＞lnn＞0，即1＜n＜10时，y = (lgn)x在R上是减函数，
所以(lgn)1.7＞(lgn)2；
若lgn＞1，即n＞10时，y = (lgn)2在R上是增函数，
所以(lgn)1.7＜(lgn)2.
若lnn = 1，即n = 10时，(lnn)1.7 = (lnn)2.
【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.
例2 求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.
【分析】根据函数单调性定义来证明.
【解析】设0＜x1＜x2＜1，
则f (x2) – f (x1) =
= ∵0＜x1＜x2＜1，
∴＞1，＞1.
则＞0，
∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数.教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
引入
回顾对数函数的定义、图象、性质.
师：上一节，大家学习了对数函数y=lgax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.
为学习新课作好了知识上的准备.
应用
举例
例1 比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）
（1）lg23.4，lg23.8；
（2）lg0.51.8，lg0.52.1；
（3）lga5.1，lga5.9；
（4）lg75，lg67.
请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.
（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）
例2 判断函数
f（x）=ln（－x）的奇偶性.
例3（1）证明函数f（x）=lg2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数；
（2）问：函数f（x）=lg2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？
例4 已知f（lgax）=，其中a＞0，且a≠1.
（1）求f（x）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）求证：f（x）在R上为增函数.
课堂练习
课本P85练习3.
例1解：（1）对数函数y=lg2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.
于是lg23.4＜lg23.8.
（2）对数函数y=lg0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，
于是lg0.51.8＞
（3）当a＞1时，对数函数y=lgax在（0，+∞）上是增函数，
于是lga5.1＜lga5.9；
当0＜a＜1时，对数函数y=lgax在（0，+∞）上是减函数，
于是lga5.1＞lga5.9.
（4）因为函数y=lg7x和函数y=lg6x都是定义域上的增函数，
所以lg75＜lg77=1=lg66＜lg67.
所以lg75＜lg67.
小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.
例2解：∵＞x恒成立，
故（x）的定义域为（－∞，+∞），
又∵f（－x）=ln（+x）
=－ln
=－ln
=－ln（－x）
=－f（x），
∴f（x）为奇函数.
在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和
f（－x）之间的关系.
f（x）为奇函数
f（－x）=－f（x）
f（x）+f（－x）=0
=－1〔f（x）≠0〕，
f（x）为偶函数f（－x）=f（x）
f（－x）－f（x）=0
=1〔f（x）≠0〕.
在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.
例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.
（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）=lg2（x12+1）－lg2（x22+1），
∵0＜x1＜x2，
∴x12+1＜x22+1.
又∵y=lg2x在（0，+∞）上是增函数，
∴lg2（x12+1）＜lg2（x22+1），
即f（x1）＜f（x2）.
∴函数f（x）=lg2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.
（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.
小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.
例4分析：利用换元法，可令t=lgax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.
（1）解：设t=lgax，则t∈R，
∴x=at（x＞0）.
则f（t）=
=（at－a－t）.
（2）证明：∵f（－x）
=（a－x－ax）
=－（ax－a－x）
=－f（x），
∴f（x）为奇函数.
（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=[
（a－a－）－（a－a－）］
=[（a－a）+a－a－（a－a）］
=（a－a）（1+a－a－）.
若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，
∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；
若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.
∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数.
综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数.
课堂练习答案：
（1）＜ （2）＜
（3）＞ （4）＞
掌握对数函数知识的应用.
归纳
总结
通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后
作业
作业：2.2 第五课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力