高中数学人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出问题引入课题

1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？

①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点.

②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.

③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

⑤由于(2，3)   (2.5，3)

  (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.

⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数

f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值.

师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.

引导：观察图形

生：方程的根在(2，3)区间内

师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根

生：应该可用

师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.

师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.

由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.

形成概念

1．对于区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2．给定精确度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：

（1）确定区间[a，b]，验证f (a)·f (b)＜0，给定精确度；

（2）求区间(a，b)的中点c；

（3）计算f (c)；

①若f (c) = 0，则c就是函数的零点；

②若f (a)·f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c))；

③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).

（4）判断是否达到精确度：即若|a – b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.

师生合作回顾实例：

求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤

师：讲授二分法的定义.

生：总结应用二分法的步骤.

学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书.

由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.

应用举例

例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1).

师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.

例1 解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象

观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.

取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).

再取(1，1.5)的中点x­2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).

同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)

由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.

尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能

巩固练习

1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).

2．借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1).

学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.

1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0，

于是f(0)·f(1)＜0，

所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.

下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点

取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0，

所以x0∈(0.5，1).

再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.

因为f(0.5)·f(0.75)＜0，

所以x0∈(0.5，0.75).

同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)

由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，

所以原方程的近似解可取为0.65625.

2．解原方程即x + lgx– 3 = 0，令f(x) = x + lgx– 3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，

于是f(2)· f(3)＜0，

所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.

下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解.

取区间(2，3)的中点x1 = 2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.

因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0­∈(2.5，3).

再取区间(2.5，3)的中点x2­­ = 2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0­∈(2.5，2.75).

同理可得x0­∈(2.5，2.625)，

x0­∈(2.5625，2.625).

由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，

所以原方程的近似解可取为2.5625.

进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.

课后练习

3.1 第三课时  习案

学生独立完成

巩固二分法应用技能