数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案

这是一份数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案，共13页。教案主要包含了重点与难点，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.2函数模型及其应用
3.2.1　几类不同增长的函数模型
●三维目标
1．知识与技能
在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．
2．过程与方法
(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；
(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．
3．情感、态度与价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．
二、重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．
难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．
在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝ax(a＞1)、对数函数y＝logax(a＞1)、幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．
课前自主导学
课标解读
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点)
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)

知识
三类函数增长速度的比较


1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】　y＝x2.
2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】　y＝2x.
3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？
【提示】　存在．
1．三种函数模型的性质
　　 函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．

三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【解析】　通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
【答案】　C

根据函数增长差异确定图象并比较大小
　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
当堂测试
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
【解析】　结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】　C
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【解析】　结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】　D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】　指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】　y2
4．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．

图3－2－3
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；
(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．
【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当xf(x)；当x1x2时，g(x)>f(x).
课后知能检测
一、选择题
1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
【解析】　显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
【答案】　D
2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(　　)

图3－2－4
A．310元 B．300元
C．290 D．280元
【解析】　由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，
∴当x＝0时，y＝300.
【答案】　B
3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(　　)

【解析】　观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.
【答案】　C
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
【解析】　如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.

【答案】　A
5．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】　取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．
【答案】　C
二、填空题
6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．
【解析】　如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．

【答案】　3
7．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
【解析】　由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax