人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例教案及反思

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”

生：尝试解答例1

解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为

480–40(x–1)=520–40x(桶)

由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得

y=(520–40x)x–200

 = –40x2+520x–200，0＜x＜13

易知，当x=6.5时，y有最大值.

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果

以旧引新激发兴趣，再现应用技能.

应用举例

4．指数型函数模型的应用

例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，

其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

例2  某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表

（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

例2  解答：

（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.

如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.

这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，

由计算器算得y≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，

所以，这个男生偏胖.

归纳总结：

通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：

师：形如y=bacx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）

生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例

师生合作总结解答思路及题型特征

师生：共同完成例1 解答：

（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率

r1≈0.0200.

同理可得，

r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为

r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y­0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.

根据表中的数据作出散点图并作出函数

y=55196e0.0221t (t∈N)的图象

由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.

（2）将y=130000代入

y=55196e0.0221t，

由计算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.

通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.

巩固练习

练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

解答：（1）已知人口模型为

y = y0en，

其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率.

若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有

y = 5e0.003t.

当y = 10时，解得t≈231.

所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.

同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.

（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.

固化能力强化技巧

应用举例

4．拟合函数模型

例3  某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，

,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

归纳总结：

所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35

本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.

生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.

师：点评学生解答，总结，回答问题

解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.

由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37).

（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有

所以得y = 0.1x + 1.

（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有

所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.

（3）设，将A，B两点的坐标代入，有

所以

（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得

用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的能力.

巩固练习

练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？

学生口述解题思路

老师借助电脑解答问题

（1）列表

（2）画散点图.

（3）确定函数模型.

甲：y1= –x2 +12x+41，

乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5

（4）做出函数图象进行比较.

计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9.

可见，乙选择的模型较好.

固化解题技巧

归纳总结

1．数学模型

所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.

2．关于数学建模中的假设

就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.

（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.

一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解.

师生合作交流归纳知识，整合解题体会

整合理论培养学习能力

课后练习

3.2 第四课时 习案

学生独立完成

固化知识提高能力