高考数学一轮复习第五篇数列第2节等差数列课件理

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1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的 关系.
知识梳理自测 把散落的知识连起来
提示:充分必要条件.2.如何推导等差数列的通项公式?提示:可用累加法.3.如何推导等差数列的前n项和公式?提示:利用倒序相加法推导.
1.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为 (n≥2,n∈N*,d为常数).
2.等差数列的通项公式(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= .(2)通项的推广:an=am+( )d.
3.等差数列的前n项和公式(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn= .(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d,则其前n项和公式Sn= .
4.等差数列{an}的性质(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq= (p,q,m∈N*).(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.(3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)成等差数列.(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.
5.等差数列的增减性与最值公差d>0时为递 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最 值;d<0时为递 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最 值.6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.
【重要结论】 1.等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0.2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).
1.已知数列{an}中,an=3n+4,若an=13,则n等于(　 　)(A)3(B)4(C)5(D)6
解析:由an=3n+4=13,解得 n=3.故选A.
2.(2017·临川一中期中)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于(　 　)(A)5(B)7(C)9(D)11
3.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于(　 　)
考点专项突破 在讲练中理解知识
(2)(2017·衡水中学调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,给出下列五个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中的最大项为S41;⑤|a6|>|a7|.其中正确命题的个数是　　　　. 
解析:(2)因为等差数列{an}中,S6最大,且S6>S7>S5,所以a1>0,d<0,①正确;因为S6>S7>S5,所以a6>0,a7<0,所以a1+6d<0,a1+5d>0,S6最大,所以④不正确;S11=11a1+55d=11(a1+5d)>0,S12=12a1+66d=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,所以②⑤正确,③错误.故正确命题的个数为3.答案:(2)3
反思归纳 等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.
跟踪训练1:(1)(2017·宁夏银川一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16等于(　　)(A)-72(B)-76(C)-80(D) -84
(2) 导学号 38486095 (2016·嘉兴一中期中)已知等差数列{an},Sn是数列{an}的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列{an}的首项a1=　　　　,通项an=　　　　. 
解析:(2)设等差数列{an}的公差为d,因为a4=10,S6=S3+39,所以a4+a5+a6=39,所以3a4+3d=39,所以d=3,所以a1=a4-3d=1,所以an=a1+(n-1)×3=3n-2.答案:(2)1　3n-2　
解析:(3)设公差为d,则由题意可得a1+(a1+d)2=-3,5a1+10d=10,解得a1=-4,d=3,则a9=-4+8×3=20.答案:(3)20
等差数列的判断与证明
反思归纳 判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一个常数.(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.(3)通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数.(4)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0.
等差数列的性质★★★
【例3】 (1)(2017·葫芦岛一中期中)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a7- a5的值为(　　)(A)8 (B)12 (C)16 (D)72
(2)(2017·西安一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a13=S13=13,则a1等于(　　)(A)-14(B)-13(C)-12(D)-11
跟踪训练3:(1)(2017·湖南益阳二模)若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=10,则S11的值为(　　)(A)12 (B)18 (C)22 (D)44
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数n=　　　　. 
【例4】 已知等差数列{an}的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?
解析:由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=-2t,其中t>0,因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,Sn取得最大值.故选B.
【例题】 在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;
解:(1)由题意得a1·5a3=(2a2+2)2,由a1=10,{an}为公差为d的等差数列得,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.所以an=-n+11(n∈N*)或an=4n+6(n∈N*).
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解题规范夯实 把典型问题的解决程序化