第五章 第四节 平面向量的综合问题-2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习

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第四节 平面向量的综合应用课中讲解考点一.与三角函数的综合问题例1.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥ b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．      变式1. 已知的面积为，且.（1）求；（2）若，，求.（2015届镇江期末15）             ． 例2. 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是_________.变式2. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是__________. 考点二.与圆的综合问题例1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，． 若点为边上的动点，则的最小值为A．      B．     C．       D． 变式1．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ）A.                   B.                  C.                      D.例2.如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则·的最大值为________．考点三.与多边形的综合问题1. 向量表示三角形“四心”的相关结论：在中，是所在平面任一点。（1）若，则是的外心；（2）若，则是的重心；（3）若,则是的垂心；（4）若，则是的内心. 2. 面积比模型在所在平面，存在一点，满足，，若同号，则在内部；若异号，则在外部； 3. 极化恒等式设，，则，（1），  （2）得：得极化恒等式：极化恒等式的两种表示模式：平行四边形模式：三角形模式：例1. 已知是内一点，满足，则        .变式1. 在中，设是的内心，若 则的值为         .例2. 已知是所在平面内的任意一点，满足，则的面积与的面积的比为        . 变式2.已知 ，， 在 所在平面内，且 ，，，则点 ，， 依次是 的(　　)（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心例3.在四边形 中，若 ，且 ，则 的面积为________．变式3.已知平面内一点 及 ，若 ，则点 与 的位置关系是(　　)A．点 在线段 上
B．点 在线段 上
C．点 在线段 上
D．点 在 外部例4.若点 是 所在平面内一点，且 ，则点 是 的(　　) A．外心  B．内心  C．垂心  D．重心 变式4.已知 ，， 是平面上不共线上三点，动点 满足 ，则 的轨迹一定通过 的(　　)A．内心 B．重心 C．垂心 D． 边的中点例5.已知点为所在平面内一点，且满足，则直线必经过的(　　)A．重心       B．内心       C．垂心       D．外心 变式5.已知，，是平面上不共线上三点，为外心，动点满足：且，则的轨迹一定通过的(　　)A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点例6. 的外接圆的圆心为 ，两条边上的高的交点为 ，，则 的取值是(　　)A． B． C． D． 变式6.已知 ，， 是平面上不共线的三点， 是 的重心，动点 满足 ，则点 一定为(　　)A． 边中线的中点 B． 边中线的三等分点（非重心）
C． 的重心 D． 边的中点 课后习题一．单选题1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（    ）A．          B．        C．             D． 2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（   ）A. 1:2:3               B. 1:4:9            C. 6:1:2                 D. 3:1:2     3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（   ）A．             B．            C．                   D．4．已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　)A． B．3C． D．25．(解法创新)记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则(　　)A．|a－c|max＝ B．|a＋c|max＝C．|a－c|min＝ D．|a＋c|min＝6. (解法创新)设a，b为单位向量，且a⊥b，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是(　　)A．2 B．2C． D．17.设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)A．1＋　　　　　　　 B.1－C.－1  D．18.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)A.  B.C.  D．3  9.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)A.－1  B.＋1C．2  D．2－ 二．填空10．(交汇创新) (2020·山东济钢中学月考)如果直角三角形ABC的边CB，CA的长都为4，D是CA的中点，P是以CB为直径的圆上的动点，则·的最大值是__________.11．(多空题)如图，扇形AOB中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为________ 弧度；若点P是上的一个动点，则当·－·取得最大值时，〈，〉＝________. 12．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________．三．解答题   13.在中，，记的夹角为.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.               14.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。（1）          求关于θ的表达式;（2）          求的值域。