2021年吉林省长春市八年级上学期数学期中试卷

 八年级上学期数学期中试卷

一、单选题

1.下列运算正确的是（  ）           

A.                    B.                    C.                    D. 

2.把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是（     ）

A. a (a-4)                        B. (a+2)(a-2)                        C. a(a+2)( a-2)                        D. (a－2 ) ²－4

3.下列命题中，是假命题的是（  ）           

A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

4.若 ， ， ，则 的值为（  ）           

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

5.如图， ，点 在边 上，则下列结论中一定成立的是（  ） 

A.                 B.                 C.                 D. 

6.如图，在 与 中， ， ．若 ，则 的度数为（  ） 

A. 52 °                                      B. 62°                                      C. 72°                                      D. 118°

7.如图，等腰△ 中，点D  ， E分别在腰AB  ， AC上，添加下列条件，不能判定 ≌ 的是（    ） 

A.                 B.                 C.                 D. 

8.图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

二、填空题

9.计算： ________．   

10.分解因式： =________.   

11.命题“如果 ，那么 ”是________命题．（填“真”或“假”）   

12.若 的计算结果中不含 的一次项，则 的值是________．   

13.如图，在 中， ，点 在边 上，且 ．若 ，则 的长为________． 

14.如图，在 与 中，AB、EF相交于点D，点F在边BC上， ， ， ．下列结论：① ；② ；③ 中，正确的是________．（填序号） 

三、解答题

15.把下列多项式分解因式：   

（1）

（2）

16.计算：

17.图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点及点 、 、 、 、 均在格点上，在图①、图②中，按要求各画一个与 全等的三角形要求： 

①两个三角形分别以 、 、 、 、 中的三个点为顶点；

②两个三角形的顶点不完全相同．

18.先化简，再求值： ，其中 ．   

19.如图，在 与 中，点 在线段 上，且 ， ， ， ． 

（1）求证： ．   

（2）求 的度数．   

20.小刚同学计算一道整式乘法： ，由于他抄错了多项式中 前面的符号，把“+”写成“一”，得到的结果为 ．   

（1）求 、 的值．   

（2）计算这道整式乘法的符合题意结果．   

21.如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．

（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为________.   

（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米， 

求图中空白部分的面积.

22.如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，且 ， 与 相交于点 ， 于点 ．

（1）求证： ．   

（2）求 的度数．   

23.按要求解答   

（1）你能求出（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值． 

（a﹣1）（a+1）；（a﹣1）（a2+a+1）；（a﹣1）（a3+a2+a+1）；…

由此我们可以得到：（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）的值．

（2）利用（1）的结论，完成下面的计算： 

2199+2198+2197+…+22+2+1．

24.是经过 顶点 的一条直线， ． 、 分别是直线 上两点，点 在点 的左侧，且 ．   

（1）直线 经过 的内部， 、 两点在射线 上．如图1，若 ， ，则 ________ （填“ ”、“ ”或“ ”）； 、 、 三条线段之间的数量关系是：________． 

（2）如图2，若 ， ，（1）中的两个结论是否仍然成立，请说明理由． 

（3）如图3，若直线 经过 的外部， ，请直接写出 、 、 三条线段之间的数量关系． 

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C  

【解析】【解答】解：A. ，该选项不符合题意；

B. ，该选项不符合题意；

C. ，该选项符合题意；

D. ，该选项不符合题意．

故答案为：C．

 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、积的乘方分别进行计算，然后判断即可.

2.【答案】 A  

【解析】直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4)。

故选A

3.【答案】 B  

【解析】【解答】A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“SAS”判定方法，故是真命题；

B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等，因为没有对应边的相等，故是假命题；

C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“HL”判定方法，故是真命题；

D、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，符合“ASA”或“AAS”的判定方法，故是真命题；

故答案为：B．

 【分析】根据直角三角形的判定方法SSS，SAS，AAS，ASA，HL，进行逐一判断即可.

4.【答案】 D  

【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ；

故答案为：D．

 【分析】利用同底数幂的除法及幂的乘方将原式变形,然后代入计算即可.

5.【答案】 C  

【解析】【解答】解：∵ ，

∴AB=AD，BC=DE，AC=AE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，

∴∠ABD=∠ADB，

故A、B、D都是错误的，C选项符合题意；

故答案为：C．

 【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等，可得AB=AD，BC=DE，AC=AE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，由AB=AD，利用等边对等角可得∠ABD=∠ADB，据此逐一判断即可.

6.【答案】 B  

【解析】【解答】解:∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠ACB=∠ACD，

∵∠B=118°，

∴∠BAC+∠ACB=180°-118°=62°，

∴∠BAC+∠ACD=62°，

故答案为：B.

 【分析】根据SSS可证△ABC≌△ADC，可得∠ACB=∠ACD，利用三角形内角和可求∠BAC+∠ACB=180°-
∠B=62°，从而可得∠BAC+∠ACD的度数.

7.【答案】 B  

【解析】【解答】解： A、若添加 ，由于AB=AC  ， ∠A是公共角，则可根据SAS判定 ≌ ，故本选项不符合题意；

B、若添加 ，不能判定 ≌ ，故本选项符合题意；

C、若添加 ，由于AB=AC  ， ∠A是公共角，则可根据AAS判定 ≌ ，故本选项不符合题意；

D、若添加 ，∵AB=AC  ， ∴∠ABC=∠ACB  ， ∴∠ABE=∠ACD  ， 由于∠A是公共角，则可根据ASA判定 ≌ ，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．

8.【答案】 C  

【解析】【解答】解：由题意可得，正方形的边长为 ，故正方形的面积为 ．

又∵原矩形的面积为 ，∴中间空的部分的面积= ．

故答案为：C．

 【分析】利用“中间空的部分的面积=正方形的面积-矩形的面积”进行计算即得.

二、填空题

9.【答案】

【解析】【解答】解： ；

故答案为 ．

 【分析】先定幂符号，再利用幂的乘方，底数不变，指数相乘进行即可.

10.【答案】 （x-4）（x+3）  

【解析】【解答】解： ．

【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．

11.【答案】 真  

【解析】【解答】由 ，则有 ，所以命题“如果 ，那么 ”是真命题；

故答案为：真．

 【分析】如果两个数相等，那么它们的平方数也相等，据此判断即可.

12.【答案】 6  

【解析】【解答】解：由 可得： ，

∵结果中不含 的一次项，

∴ ，解得： ；

故答案为6．

 【分析】利用多项式乘以多项式将原式展开并整理为， 根据结果中不含 的一次项，可得， 求出m的值即可.

13.【答案】 10  

【解析】【解答】∵ ∠B＝∠C＝40°，

∴AB＝AC，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°，

∵∠DAC＝50°，

∴ AD是等腰三角形ABC顶角∠BAC的角平分线，

∴BC＝2BD＝10．

 【分析】由∠B＝∠C，可得AB＝AC，即得△ABC是等腰三角形，利用三角形的内角和求出∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°，从而求出∠DAC=∠BAC-∠DAC=50°，即得AD平分∠BAC，根据三角形三线合一的性质得出BC＝2BD，据此即得结论.

14.【答案】 ②  

【解析】【解答】在 与 中，

∵ ， ， ，

∴ ≌ ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

故②符合题意；

∴ ，即： ，

故①不符合题意；

∴ ，即： ，

∴ ，

故③不符合题意；

故答案为：②．

 【分析】先证≌， 可得 ， ， ，

利用等边对等角可得， 由等量代换可得， 据此判断 ②；利用等式的性质得出， 即得， 据此判断①；利用三角形外角的性质得出， 即得 ，从而得出， 据此判断③.

三、解答题

15.【答案】 （1）解：原式
（2）解：原式 ．  

【解析】【分析】（1）先提取公因数2，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因数3，再利用平方差公式分解即可.
 

16.【答案】 解：原式

【解析】【分析】利用平方差公式、多项式除以单项式法则先进行计算，再利用去括号、合并同类项化简即得.

17.【答案】 解：如图所示，△ABE、△CDE即为所求： 

【解析】【分析】①根据全等三角形的判定SAS进行作图即可；
②根据全等三角形的判定SAS进行作图即可.

18.【答案】 解：原式

当 时，原式 ．

【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式将原式展开，然后利用去括号、合并即可化简，最后将m的值代入计算即可.

19.【答案】 （1）解： ， ，  

．

在 与 中，

， ，

（HL），

；

（2）解： ，  

．

，

．

．

．

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出  

可得AB=CD ；
（2）利用全等三角形对应角相等可得， 根据三角形内角和可得∠A+∠ACB=90°

即得， 利用平角的定义可求出∠ACE=180°-（∠DCE+∠ACB）=90°.

20.【答案】 （1）解：由题意，得

，

（2）解： ．  

【解析】【分析】（1）根据题意先列算式为 ， 将其展开为 得， 利用多项式相等的条件可得2a=10,b=-4-3a，解出a、b的值即可；
（2）列出正确的算式为

21.【答案】 （1）（a+2b）（2a+b）
（2）解：由已知得：  

化简得 
②平方的：
化简得：

将①代入③得到：ab=24
∴空白部分的面积为 5ab=120（）  

【解析】【解答】（1） 2a²+5ab+2b² = （a+2b）（2a+b）
解：由已知得：   

化简得 

∴ 

∴ab=24

∴空白部分的面积为 5ab=120（平分厘米）
【分析】（1）利用等面积法即可得到答案。图中大长方形的面积可以用面积公式S=长×宽=（a+2b）（2a+b），也可以看成是 2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形组成，即S= 2a²+5ab+2b² ，所以 2a²+5ab+2b² = （a+2b）（2a+b）；
（2）图中阴影部分的面积为 、 大长方形纸板的周长为、根据题意联立方程解得ab，即可得到空白部分的面积6ab.

22.【答案】 （1）解： 是等边三角形，

， ，

，

（2）解： ，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得，

；
（2）由， 可得   ， 从而得出

   ， 根据三角形外角的性质得出

=60°，根据垂直的定义得出， 利用三角形内角和得出， 据此即得求出结论.

23.【答案】 （1）解：（a﹣1）（a+1）=a2﹣1， 

（a﹣1）（a2+a+1）=a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1=a3﹣1，

（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a﹣a3﹣a2﹣a﹣1=a4﹣1，

（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）=a100﹣1；

（2）解：2199+2198+2197+…+22+2+1=（2﹣1）×（2199+2198+2197+…+22+2+1）=2200﹣1． 

（1）a2﹣1，a3﹣1，a4﹣1，a100﹣1；（2）2200﹣1．

【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则分别进行计算，根据结果找出规律 :（a﹣1）（an+an-1···+a2+a+1）=an+1-1，据此即得结论；
（2）将原式变形为 2199+2198+2197+…+22+2+1=（2﹣1）×（2199+2198+2197+…+22+2+1），利用（1） 规律即得结论.

24.【答案】 （1）；
（2）解：当 时，①中的两个结论仍然成立．  

，即 ，

又 ，

，

， ，

，

， ，

，

（3）解： ，理由如下：  

∵ ，

∴∠ACF=180°-∠ACB-∠BCE，∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC，

∴∠ACF=∠CBE，

∵CB=CA，

，

∴EC=AF，CF=BE，

∵EF=EC+CF，

∴

【解析】【解答】（1）∵ ， ，

∴ ，

∴∠BCE+∠FCA=90°，∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠FCA=∠EBC，

∵ ，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF，AF=CE，

∵CF=CE+EF，

∴ ；

故答案为 ， ；

 【分析】（1）先求出， ∠FCA=∠EBC，根据AAS可证△BEC≌△CFA，可得BE=CF，AF=CE，由CF=CE+EF，即得；
（2）成立.理由：求出， ， AAS可证△BEC≌△CFA，可得BE=CF，AF=CE，由EF=CF-CE，即得；
（3）， 理由，根据AAS可证△BEC≌△CFA，可得EC=AF，CF=BE，由EF=EC+CF， 

即得.