高中3 动能和动能定理巩固练习

3．动能和动能定理

一、动能的表达式

　推导：如图所示，质量为m的物体，在恒力F作用下，经位移l后，速度由v1增加到v2。

根据牛顿第二定律有F＝ma，

根据运动学公式有：l＝。

外力做的总功W＝Fl＝。

1．定义：物体由于运动而具有的能量。

2．表达式： 。

3．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。1 J＝1__N·m＝1__kg·m2/s2。

4．特点：动能是标量，只有大小没有方向，与物体的速度方向无关。

台风、龙卷风等强烈的空气流动具有巨大的能量，可以拔起大树、掀翻汽车甚至摧毁房屋。

思考：那么台风、龙卷风具有的动能和什么有关系哪？

提示：质量和速度。

二、动能定理

1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的增量。

2．表达式：W＝Ek2－Ek1。

3．两点说明：

(1)如果物体受到几个力的共同作用，式中W为合外力所做的功，它等于各力做功的代数和。

(2)如果外力对物体做正功，物体的动能增加，外力对物体做负功，物体的动能减小。

4．适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。

运动员用力将足球踢出，足球获得了动能；足球在草地上由于受到了阻力的作用，速度越来越小，动能越来越小。

思考：若外力对物体做功，该物体的动能总会增加吗？

提示：动能不一定会增加，当外力做的总功为正功时，动能增加，当外力做的总功为负功时，动能减小。

学习动能和动能定理后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？

①一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。

②物体的合外力对物体做的功为零，动能一定不变。

③物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化。

④物体的动能不变，其所受的合外力必定为零。

⑤外力对物体做正功，物体的动能增加，外力对物体做负功，物体的动能减小。

⑥动能定理只适用于恒力做功和直线运动。

⑦物体受到的一个力对物体做正功，那么物体的动能一定增加。

说法正确的有①②⑤。

　一架飞机在牵引力的作用下(不计阻力)，在起飞跑道上加速运动，速度越来越大。

思考1：飞机的动能如何变化？为什么？

提示：飞机的动能越来越大，动能的大小跟速度有关。

思考2：飞机的动能变化的原因是什么？

提示：受到牵引力的作用。

一、动能(物理观念——能量观念)

　准备三个等大的小球，其中两个质量相同，第三个质量大一些。

思考1：把质量相同的两个小球用细线悬挂起来，使两球并排紧靠。拉起右边的小球，将它从不同高度释放去击左边的小球。可以发现右球释放位置越高，撞击左球的速度越大，左球摆的就越高。这个实验现象说明什么问题？

提示：球动能的大小跟速度有关。

思考2：将右球换为质量较大的小球，拉到与思考1中各次相同的初始高度，然后释放。可以发现左球摆地更高，且撞击后右球还可继续运动。这个实验现象说明什么问题？

提示：球动能的大小跟质量有关。

　 物体的动能与质量和速度有关，表达式为Ek＝mv2。

【典例】(多选)在下列几种情况中，甲、乙两物体的动能相等的是(　　)

A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的

B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的

C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的

D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动

【解题探究】

(1)动能的表达式是什么？

提示：Ek＝mv2。

(2)动能相同，速度是不是一定相同？

提示：不一定，因为速度有方向，可能不同。

【解析】选C、D。由动能的表达式Ek＝mv2知选项A、B错误，选项C正确。动能是标量，选项D正确。

(1)做匀速圆周运动的物体，速度方向时刻改变，动能不变。

(2)动能是个标量，没有负值。

1．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰撞过程中的速度变化和动能变化分别是(　　)

A．Δv＝10 m/s      B．Δv＝0

C．ΔEk＝1 J       D．ΔEk＝0

【解析】选A、D。因为速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s。而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0。选项A、D正确。

2．质量为2 kg的物体A以5 m/s的速度向北运动，另一个质量为0.5 kg的物体B以10 m/s的速度向西运动，则下列说法正确的是(　　)

A．EkA＝EkB    　　　 B．EkA>EkB

C．EkA<EkB    　　　 D．因运动方向不同，无法比较动能

【解析】选A。动能是标量，没有方向，将各量代入Ek＝mv2的表达式，可知A选项正确。

【补偿训练】

质量为2 kg的石块做自由落体运动，求石块在第1 s末、第2 s末的动能是多少？

【解析】先求出第1 s末和第2 s末的速度再求出动能值，明确变速运动的物体动能是时刻变化的。

v1＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s，

v2＝gt2＝10×2 m/s＝20 m/s

Ek1＝mv＝100 J，Ek2＝mv＝400 J。

二、动能定理的理解和应用(科学思维——科学推理)

如图所示，木箱(可视为质点)从长为L、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下。

思考1：木箱受几个力作用？各做什么功？怎么求合力的功？

提示：木箱受重力和支持力两个力。重力做正功，支持力不做功，合力做的功等于重力做的功。

思考2：用两种方法求木箱到达斜面底端时的速度？哪种方法简单？

提示：解法一：先求物体加速度a，再根据公式v2＝2ax得物体到达斜面底端的速度。

解法二：根据动能定理mgL sin θ＝mv2，可以求得物体到达斜面的底端的速度。

比较两种求法，应用动能定理求解比较简单。

1．动能定理公式中体现的三个关系：

2.动能定理与牛顿第二定律的比较：

【典例】质量为3 t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶200 m后速度增大到108 km/h，若发动机的牵引力为8×103 N不变。

(1)牵引力做了多少功？

(2)卡车动能增加了多少？

(3)卡车克服阻力做了多少功？

【解题探究】

(1)计算功的表达式是什么？

提示：W＝Fl cos α。

(2)动能定理的表达式是什么？

提示：W＝mv－mv。

【解析】(1)由功的定义式可得牵引力做的功：

WF＝Fx＝8 000×200 J＝1.6×106 J。

(2)由动能的定义可得，增加的动能为：

ΔEk＝mv2－0＝1.35×106 J。

(3)由动能定理有：

WF－Wf＝ΔEk化简可得

Wf＝WF－ΔEk＝2.5×105 J

答案：(1)1.6×106 J　(2)1.35×106 J　(3)2.5×105 J

应用动能定理的注意事项

(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。

(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负。

(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系。

1．质量m＝2 kg的物体，在光滑水平面上以v1＝6 m/s的速度匀速向西运动，若有一个F＝8 N方向向北的恒力作用于物体，在t＝2 s内物体的动能增加

了(　　)

A．28 J    B．64 J    C．32 J    D．36 J

【解析】选B。由于力F与速度v1垂直，物体做曲线运动，其两个分运动为向西的匀速运动和向北的匀加速直线运动，对匀加速运动：a＝＝4 m/s2，v2＝at＝8 m/s。2 s末物体的速度v＝＝10 m/s，2 s内物体的动能增加了ΔE＝mv2－mv＝64 J，故选项B正确。

2.如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　)

A．运动员踢球时对足球做功mv2

B．足球上升过程重力做功mgh

C．运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh

D．足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh

【解析】选C。足球上升过程中足球重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；从运动员踢球至足球上升至最高点的过程中，由动能定理得W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做功W＝mv2＋mgh，A项错误，C项正确。

【拔高题组】

1.一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为(　　)

A．tan θ和    B．(－1)tan θ和

C．tan θ和    D．(－1)tan θ和

【解析】选D。设物块与斜坡之间的动摩擦因数为μ，由动能定理可得－mgH－μmg cos θ＝0－mv2

－mgh－μmg cos θ＝0－m()2

解得h＝，μ＝(－1)tan θ，所以选项D正确。

2.(多选)人通过滑轮将质量为m的物体沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体到达斜面顶端时速度为v，上升的高度为h，如图所示，则在此过程中 (　　)

A．物体所受的合力做功为mgh＋mv2

B．物体所受的合力做功为mv2

C．人对物体做的功为mgh

D．人对物体做的功大于mgh

【解析】选B、D。对物体受力分析可知，重力、拉力及摩擦力对物体做功，由动能定理可知，合外力做的功等于功能的变化量即mv2，A错误，B正确；物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理得W合＝WF－Wf－mgh＝mv2，其中Wf为物体克服摩擦力做的功；人对物体做的功即是人对物体拉力做的功WF，所以W人＝WF＝Wf＋mgh＋mv2，A、C错误，B、D正确。

【拓展例题】动能定理解决多过程问题

【典例】如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止。已知轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：

(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；

(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；

(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功。

【解析】(1)设物体滑至圆弧底端时速度为v，

由动能定理可知mgR＝mv2，得v＝＝4 m/s。

(2)设物体滑至圆弧底端时受到轨道的支持力为FN，

根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，

故FN＝mg＋m＝300 N，

根据牛顿第三定律FN′＝FN，

所以物体对轨道的压力大小为300 N。

(3)设物体沿水平面滑动过程中摩擦力做的功为Wf，

根据动能定理可知Wf＝0－mv2＝－80 J，

所以物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功为80 J。

答案：(1)4 m/s　(2)300 N　(3)80 J

为什么飞机会怕鸟？

中国东方航空公司的一架从合肥飞往北京的MU5169次航班，于15日上午7点58分起飞，10多分钟后，飞机右侧发动机被飞鸟撞击后出现机械故障，飞机紧急返航。该航班被临时取消。飞机怕鸟主要是因为以下两个方面的原因：

第一、鸟被吸入发动机，导致发动机熄火或者着火。鸟撞击发动机，这是飞机最为担心的地方，因为一旦鸟儿被吸入发动机，就会撞击发动机的压气机叶片，叶片破裂之后就会在发动机内部四处“翻腾”，最后导致发动机熄火。

第二、鸟虽然质量小，但是与飞机的相对速度很大，相撞时的冲击力非常大。所以鸟类撞击飞机确实对飞机造成很大的伤害。

探究：用所学的知识解释鸟质量虽小，但冲击力非常大。

提示：鸟和飞机相对速度非常大，根据动能定理，撞击时动能的变化非常大，作用距离短，故冲击力非常大。

1．(水平1)A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则它们的动能之比为(　　)

A．12∶1    B．4∶3    C．12∶5    D．4∶3

【解析】选B。根据动能的表达式Ek＝mv2得，A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则动能之比为4∶3，故B正确，A、C、D错误。

2．(水平2)一个人站在阳台上，从阳台边缘以相同的速率v0分别把三个质量相同的球竖直上抛、竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的动能(　　)

A．上抛球最大    B．下抛球最大

C．平抛球最大    D．一样大

【解析】选D。设阳台离地面高度为h，根据动能定理得：Ek－mv＝mgh，初速度相同，高度相同，所以落地动能相同，A、B、C错误，D正确。

3. (水平2)质量为60 kg的体操运动员，做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图所示，此过程中，运动员到达最低点时手臂受到的拉力至少应为多少(忽略空气阻力，g取10 m/s2)(　　)

A．600 N　　　B．2 400 N　　　C．3 000 N　　　D．3 600 N

【解析】选C。设运动员的长度为l，运动员的重心在人体的中间。最高点的最小速度为零，根据动能定理得：mgl＝mv2。解得最低点运动员的速度v＝。根据牛顿第二定律得，F－mg＝m ，解得F＝5 mg＝3 000 N。故C正确，A、B、D错误。

4．(水平2)两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为(　　)

A．xA∶xB＝2∶1    B．xA∶xB＝1∶2

C．xA∶xB＝4∶1    D．xA∶xB＝1∶4

【解析】选B。物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgxA＝0－Ek；对B：－μmBgxB＝0－Ek。故＝＝，B正确，A、C、D错误。

5．(水平2)如图所示，质量为0.1 kg的小物块在粗糙水平桌面上滑行4 m后以3.0 m/s的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高0.45 m，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则(　　)

A．小物块的初速度是5 m/s

B．小物块的水平射程为1.2 m

C．小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功

D．小物块落地时的动能为0.9 J

【解析】选D。小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理－μmgs＝mv2－mv，得：v0＝7 m/s，Wf＝－μmgs＝－2 J，A、C错误；物块飞离桌面后做平抛运动，由h＝gt2，x＝vt得x＝0.9 m，B项错误；由mgh＝Ek－mv2得，物块落地时Ek＝0.9 J，D正确。