2021年福建省福州市八年级上学期数学期中试卷

这是一份2021年福建省福州市八年级上学期数学期中试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.下列图形中是轴对称图形的是（    ）
A.                    B.                    C.                    D. 
2.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（　　）

A. 6                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 11
3.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是(　　)
A.             B.               C.             D. 
4.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，则∠F等于（    ）
A. 80°                                      B. 40°                                      C. 60°                                      D. 120°
5.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（   ）

A. 110°                                    B. 120°                                    C. 130°                                    D. 140°
6.如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上，△ACD 和△ABD 面积相等，线段 AD 是三角形的（    ）

A. 高                                 B. 角平分线                                 C. 中线                                 D. 无法确定
7.如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识，画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（    ）

A. ASA                                     B. SAS                                     C. SSS                                     D. AAS
8.已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（    ）
A. 50°                                 B. 80°                                 C. 65°或80°                                 D. 50°或80°
9.已知：以a，b，c为边的三角形满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，则这个三角形是（    ）
A. 等腰三角形                    B. 直角三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形
10.如图，点P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，若点N到∠AOB的两边距离相等，且PN＝NQ，则点N一定是（  ）．

A. ∠AOB的平分线与PQ的交点                               B. ∠OPQ与∠OQP的角平分线的交点
C. ∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点   D. 线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点
二、填空题
11.点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是       ．
12.如图，一棵树在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为________米．

13.如图，在△ABC中,∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=22°,则∠BDC=________度；

14.如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：________．

15.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC ， CD=2，DE⊥AB于E ， 则 等于________．

16.如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB ， 点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为________．

三、解答题
17.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边上的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°．求∠BAD和∠ADB的度数．

18.若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数与它每个内角的度数．
19.如图，已知 ， ，垂足分别为A ， D ， ．求证：∠1＝∠2．

20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，线段AB与A1B1的端点都在格点上．

（1）在图中建立适当的直角坐标系，使点B和B1都在x轴上，且线段AB和A1B1关于y轴成轴对称；
（2）写出点A1 ， B1的坐标；
（3）若y轴上有一点P ， 满足PA=PB ． 用直尺作出点P（保留作图痕迹）．
21.如图，线段BC在∠MBC的边上．

（1）尺规作图：
① 作出线段BC的垂直平分线交MB于点A ， 连接AC；
② 作∠MBC的角平分线BK交AC于点K（要求保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若AK=BK ， 求∠ABC的度数．
22.求证：等腰三角形两腰上的中线相等（要求画图，写已知、求证、证明）．
23.我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC ， ∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E ， 且BD是∠ABC的角平分线．

求证：AE＝ BD ．
24.如图，等边△ABC中，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合）．过点D作DE∥BC交AC于点E ． 把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点为P ．

（1）求证：△ADE为等边三角形；
（2）连接AP ， 点D在运动过程中线段AP与线段DE是否存在一定的位置关系？证明你的结论；
（3）若等边△ABC的边长为3，当△BDP为直角三角形时，求 的值．
25.如图，在△ABC中，AB=AC ， ∠CAB=α ， 分别以AB ， BC为边在BC同侧作等边△ABD和等边△BCE ， 连接AE ， DC ．

（1）求∠ACE的度数（用α表示）；
（2）求证：AE平分∠BAC；
（3）若BF⊥CD ， 交DC的延长线于点F ， 当△BCF的面积为 ，△BCE的面积为 ，求 的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，

所以符合条件的整数为6，
故选A．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；
而C选项中，拉闸门是用到了四边形的不稳定性.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的稳定性解答即可.
4.【答案】 C
【解析】【解答】在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣80°﹣40°=60°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=60°，
故答案为：C.

【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后利用全等三角形的对应角相等即可求出∠C'的度数.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．
故选B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
6.【答案】 C
【解析】【解答】根据题意可知△ACD和△ABD面积相等，因为这两个三角形的高是相同的，只有底相等，面积才能相等，所以要满足CD=BD，D是BC中点，线段AD是三角形ABC的中线.故答案为：C.
【分析】由于△ACD和△ABD面积相等且它们的高相同，从而可得DC=BD，即D是BC中点，据此判断即可.
7.【答案】 A
【解析】【解答】根据题意，三角形的两个角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出一个完全一样的三角形．
故答案为：A．

【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】当 的角为顶角时，它的顶角为 ，
当 的角为底角时，它的顶角为 ，
∴它的顶角为 或 ，
故答案为：D．

【分析】根据三角形的内角和及等腰三角形的性质分两种情况求解即可。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：因为以a，b，c为边的三角形满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，
所以a﹣b＝0或b﹣c＝0，
得到a＝b或b＝c，
所以三角形为等腰三角形，
故答案为：A．

【分析】根据（a﹣b）（b﹣c）＝0，可得a﹣b＝0或b﹣c＝0，化简可知：a＝b或b＝c，因此三角形为等腰三角形。
10.【答案】 C
【解析】【解答】根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，所以本题到∠AOB的两边距离相等的点在∠AOB的平分线上；
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以到点P，Q两点距离相等的点在线段PQ的垂直平分线上，
满足两种情况，点N一定是∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点．
故答案为：C．

【分析】根据角平分线的判定及垂直平分线的判定求解即可。
二、填空题
11.【答案】 （2，3）
【解析】【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．
12.【答案】 9
【解析】【解答】解：如图，根据题意BC=3米，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案为：9．

【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2BC，再计算即可。
13.【答案】 67
【解析】【解答】△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°-∠A=68°，
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED-∠A=46°，

故答案为:67

【分析】根据折叠的性质可知：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，再利用平角计算即可。
14.【答案】 ∠B=∠C
【解析】【解答】解：添加的条件：∠B=∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B=∠C．
【分析】添加条件是∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
15.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，
∴CD=DE=2，
∵AB=6，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】根据角平分线的性质可知：CD=DE=2，再利用三角形的面积公式计算即可。
16.【答案】 45°
【解析】【解答】解：如图，

找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．

【分析】找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小．
三、解答题
17.【答案】 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°
∵CE是△ABC的高，
∴∠BEC=90°
又∵∠BCE=40°，
∴∠B=50°
∴∠ADB=180°－50°－30°=100° ．
【解析】【分析】根据AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，可得∠BAD和∠CAD相等，都是30°，∠CAE=90°，从而求得∠ACE的度数，又因为∠BCE=40°，∠ADB=∠BDE+∠ACD+∠CAD，从而求得∠ADB的度数。
18.【答案】 解：设这个正多边形的边数为n，则根据题意，得：（n﹣2）×180°+360°=900°，
解得n=5， ；
答：这个多边形是正五边形，它每个内角的度数为108°．
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式及外角和列方程求解即可。
19.【答案】 解：∵ ，

∴∠A＝∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∵
∴  Rt△ABC≌Rt△DCB  (HL)
∴  ∠1＝∠2
【解析】【分析】利用“HL”证明三角形全等，再利用全等的性质证明即可。
20.【答案】 （1）解：如图所示；


（2）解：A1（1，4），B1（5，0）；
（3）解：如图

【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出坐标轴的位置；
（2）利用已知坐标系即可得出点 A1， B1的坐标 ；
（3）利用线段垂直平分线的性质作图即可。
21.【答案】 （1）解：①如图，直线AD、线段AC即为所求 ；

②如图，射线 即为所求；

（2）解：设 ，
 
   
平分 ，
 
垂直平分 ，
,
 
 
 
 

【解析】【分析】（1）①分别以B、C为圆心，大于BC的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过两点作直线交MB于点A，即可得到答案；②一B为圆心，任意长为半径画弧，得到与角的两边的交点，再分别以两个交点为圆心，大于两交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，以角的顶点为端点，过这个交点作射线交AC于点K即可；（2） 设   ， 利用等腰三角形的性质求解∠ABK，再利用角平分线的性质求解∠ABC，再利用垂直平分线的性质证明AB=AC，证明∠ABC=∠ACB，再利用三角形的内角和求解即可。
22.【答案】 解：已知：如图所示， 中， ， 、 为 的中线，

求证： ．
证明： ，
∴ ，
又∵ 、 为 的中线，即 ， ，
，．
，
．
．
即等腰三角形的两腰上的中线相等．
【解析】【分析】先根据已知画出图象，再结合图象写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明即可。
23.【答案】 证明：如图，延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE，∠ACB=90°

∴∠BEF=∠BEA=90°,∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD (ASA)
∴AF=BD．
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABE=∠FBE-
在△ABE和△FBE 中，

∴△ABE≌△FBE (ASA)
∴
∴
【解析】【分析】 延长AE、BC交于点F ，利用“ASA”证明 △ACF≌△BCD  ，得到AF=BD，再结合BD是∠ABC的角平分线，即 ∠ABE=∠FBE ，再利用“ASA”证明 △ABE≌△FBE，最后利用全等三角形的性质求解即可。 
24.【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°
又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠C=60°，
∴∠ADE=∠AED=∠BAC=60° ，
∴△ADE为等边三角形．

（2）解：点D在运动过程中线段AP与线段DE互相垂直平分
证明：∵△ADE与△PDE关于直线DE成轴对称，
∴DE垂直平分AP，
∵△ADE为等边三角形，AP⊥DE,
∴AP平分DE,
∴ AP、DE互相垂直平分

（3）解：由于∠BDP=60°，所以，分∠BPD=90°或∠DBP=90°两种情况
① 当∠BPD=90°时，∵∠BDP=60°,∴∠PBD=30°,∴ ．
 ∵AD=PD, ∴   即
②当∠DBP=90°时，同理可得
即，
综上所述，当△BDP是直角三角形时，当 或 ．

【解析】【分析】（1）根据 △ABC为等边三角形 ，得到 ∠BAC=∠C=∠ABC=60° ，再根据平行线的性质得到 ∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠C=60°， 即可证明 △ADE为等边三角形．
（2）根据 △ADE与△PDE关于直线DE成轴对称， 可知 DE垂直平分AP， 再根据 △ADE为等边三角形，AP⊥DE, 即可证出 AP、DE互相垂直平分 ；
（3）分两种情况： ① 当∠BPD=90°时， ②当∠DBP=90°时， 再利用30°直角三角形的性质求解即可。
25.【答案】 （1）解：∵AB=AC，∠CAB=α，
∴∠ACB=∠ABC= ．
又∵△BCE为等边三角形，
∴∠ECB=∠EBC=60°．
∴ ．

（2）证明：∵AC=AB，CE=BE，AE=AE，
∴△ACE≌△ABE (SSS) ．
∴∠CAE=∠BAE，即AE平分∠CAB．

（3）解：∵∠ABD=∠CBE= 60°， 
∴∠ABE=∠CBD．
由题意知BC=BE、BA=BD，
∴△ABE≌△DBC(SAS)
∴∠BAE=∠BDC，
由（2）可知△ACE≌△ABE，
∴∠ABE=∠ACE=∠DBC= ，∠BAE=∠CAE=∠BDC= ∠BAC= ，
∴∠BCF=∠BDC+∠DBC= 30°，
∴∠ECF= 90°，
∵∠BFC=90°，
∴CB=2BF， CE∥BF，
过点B作BM⊥CE交于点M ，

∴CF=BM ．
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形和等边三角形的性质结合角之间的关系即可求出∠ACE；（2）根据题意利用三边分别相等即可证明 △ACE≌△ABE  ，再利用全等三角形的性质即可得到结论；（3）利用等边三角形的性质结合角之间的关系可求出∠ABE=∠CBD，继而证明 △ABE≌△DBC ，得出结论∠BAE=∠BDC，再根据（2）可求出∠ABE=∠ACE=∠DBC=30°-， ∠BAE=∠CAE=∠BDC=∠BAC=， 即求出∠BCF=30°，从而求出∠ECF=90°，即CE//BF，偶点B作BM⊥CE交于点M，即有CF=BM，再利用三角形面积公式求解即可。