2021年浙江省湖州市八年级上学期数学期中考试试卷

这是一份2021年浙江省湖州市八年级上学期数学期中考试试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2020年湖州市全面推行生活垃圾分类．下面图标分别为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. ∠1=50°，∠2=40° B. ∠1=50°，∠2=50° C. ∠1=∠2=45° D. ∠1=40°，∠2=40°
3.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A. B. C. D.
4.若等腰三角形腰长是4，则底边不可能是（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
5.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明 的依据是（ ）
A. SAS B. SSS C. AAS D. ASA
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC ， P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动.若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 4.8
9.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是△ABC内一点，OA＝6，OB＝ ，OC＝10， 为△ABC外一点，且△ ≌△ ，则四边形 的面积为（ ）
A. 10 B. 16 C. 40 D. 80
10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）

A. △ABC的周长 B. △AFH的周长 C. 四边形FBGH的周长 D. 四边形ADEC的周长
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.在 中，锐角∠A＝25°，则另一个锐角∠B＝ °.
12.”两个全等的三角形的周长相等“的逆命题是________命题。（填”真“或”假“）。
13.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，过点O作MN // BC，分别交AB、AC于点M、N.已知AB=5，AC=4，则△AMN的周长为________.
14.如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3 cm，△ABC的面积是9 cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为________.
15.如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝________.
16.如图，把一张长方形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BE＝BF＝1，则AB的长度为________.
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）.用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）.连结AP，若AC＝6，BC＝8时，求△ACP的周长.
18.图①和图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1．请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．

（1）请在图①中出一个面积为3的等腰三角形；
（2）请在图②中画出一个与△ABC全等的三角形ABD ．

19.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D，E在斜边AC上，且AD＝EC，连结BD，BE.若∠DBE＝50°，求∠BDE的度数.
20.如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE.
（1）.若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度数；
（2）.若∠B=x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数.
21.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
（1）.求证：△AEC≌△BED；
（2）.若∠1＝48°，求∠BDE的度数.
22.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4厘米，BC＝3厘米，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1厘米，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．

（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；

（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

23.如图
（1）【问题探究】
如图①，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD ， 使AE＝AB ， AD＝AC ， ∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD ， CE ， 试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
（2）【深入探究】
如图②，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD ， 使AE＝AB ， AD＝AC ， ∠BAE＝∠CAD ， 连接BD、CE ， 试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
如图③，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD ， 连接CD ， 若AC= ，BC=3，则CD长为________．
24.具有公共顶点A的△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连结BD，CE.
（1）如图①，当∠EAC=________度时，△AEC≌△ADB；
（2）如图②，保持△ABC的位置不变，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，连结BD，CE.此时△AEC和△ADB的面积相等吗？请你作出判断，并说明理由；
（3）请你运用探索到的结论解决以下问题：
如图③，一条环形小路是由白色的正方形大理石和花色的三角形大理石铺成的.已知小路的总面积为（a2+b2）平方米，中间的所有正方形的面积之和为（2a+4b-9）平方米，内圈的所有三角形的面积之和为（a+b-2）平方米，求a，b的值.
答案解析部分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：ACD、AC横向和纵向都有一个对称轴，D纵向有一个对称轴，符合题意；
B、没有对称轴，不是轴对称图形；
故答案为：B.

【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故答案为：D．
【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；
根据三角形高线的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，
∵等腰三角形腰长是4，
∴等腰三角形的底边的取值范围是0故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：由作法知OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）,
∴∠A'O'B'=∠AOB.
故答案为：B.
【分析】根据作法可得OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，利用边角边定理证明三角形全等，可知答案.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠ACB-∠ABC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD=6，
∵P是BD的中点，
∴CP=BD=3.
故答案为：A.

【分析】先由余角的性质，结合角平分线定义求出△DBA是等腰三角形，得出BD的长，于是利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求出CP的长.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC
设∠O=∠ODC=x
∴∠DCE=∠DEC=2x
∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x
∵∠BDE＝75°
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°
即
解得：
.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，BD⊥AC，

∵AB=AC，
∴BH=CH=3，
∴AH==4，
∴S△ABC=BC×AH=BD×AC，
∴BD=，
故当P与D重合时，BP最短.
故答案为：D.
【分析】作AH⊥BC，BD⊥AC，由等腰三角形的性质求出HC的长，再由勾股求出AH的长，最后根据面积法求出BD的长，即BP最短.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，连接OO'，

∵△CBO≌△ABO'，
∴BO'=BO=4， O'A=OC=10，∠CBO=∠ABO'，
∴∠OBO'=∠ABC=90°，
∴OO'=OB=8，
∵O'A2=100，OO'2+OA2=82+62=100，
∴O'A2=OO'2+OA2,
∴△AOA'为直角三角形，
∴ 四边形 的面积=S△OBO'+S△AOO'=OB×O'B+ OA×OO'
= .
故答案为：C.

【分析】连接OO'，由旋转的性质，结合线段间的关系，推得△OBO'和△AOO'是直角三角形，然后用割补法求四边形AO'BO的面积即可.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解： ∵ △BDE和△FGH是等边三角形， △BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE,
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴ 五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.

【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的 ， 据此可知答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.【答案】 65
【解析】【解答】 解：在 中， ，
另一个锐角 ，
故答案为：65.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得.
12.【答案】 假
【解析】【解答】解：逆命题为：周长相等的两个三角形全等，
因为已知三角形的周长，三角形三边的长短是不确定的，所以不能判断是否全等，是假命题.
故答案为：假.
【分析】逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，先写出逆命题再分析判断真假即可.
13.【答案】 9
【解析】【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴OM＝BM，
同理CN＝NO，
∴BM＋CN＝MN，
∴△AMN的周长是AN＋MN＋AM＝AN＋CN＋AM＋BM＝AB＋AC＝5＋4＝9.
故答案为：9.
【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出∠MOB＝∠MBO，根据等角对等边推出BM＝OM，同理CN＝ON，代入三角形周长公式求出即可.
14.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵D为BC的中点，BC＝3cm，
∴BD＝1.5cm，
连接AD，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD为等腰三角形的高，
设AD＝h cm，
∵△ABC的面积是9cm2 ，
∴S△ABC＝ ×BC×AD＝9cm2 ，
即 ×3×h＝9，
解得：h＝6，
∴AD＝6cm，
∵EF为线段AB的垂直平分线，
∴A、B关于EF对称，
∴BM＋DM的最小值为线段AD的长度，即6cm，
故答案为：6cm.
【分析】连接AD，AD与EF的交点为M，求出A、B关于EF对称，求出此时BM＋DM的值最小，并且BM＋DM＝AD，根据三角形的面积求出AD即可.
15.【答案】 1
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，
∴E是CD的中点，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，
∴BE＝ ，
∵BD＝2，
∴DE＝ −2＝ ，
∴CD＝1，
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，求出BE＝ ，进而求出DE＝ −2＝ ，即可求CD.
16.【答案】
【解析】【解答】解：由折叠补全图形如图所示，
AD=A’D=AE=A’E=BC，CF=EF，
∵∠B=90°，BE＝BF＝1，
∴EF= =CF
∴BC=AD= =AE
∴AB=AE+BE= +1=
故答案为： .
【分析】先判断出△ADE、△BEF是等腰直角三角形，进而判断出EF＝CF，利用勾股定理即可得出结论.
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17.【答案】 （1）解：如图所示：
如图，点P即为所求作的点；
（2）解：∵PD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴ .
【解析】【分析】（1）由到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线即可；
（2）由PD是AB的垂直平分线得到PA=PB，由此即可求出△ACP的周长.
18.【答案】 （1）解：如图①所示：△ABC即为所求

（2）解：如图②所示：△ABD即为所求


【解析】【分析】（1）作底为6，高为1的等腰三角形即可，则面积为3；
（2）分别作AD∥BC，BD∥AC，AD与BD交于一点D，则四边形ACBD为平行四边形，根据平行四边形的性质可证△ABC全等的三角形ABD．


19.【答案】 解：∵等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB＝CB，∠A＝∠C＝45°，
在△ABD和△CBE中， ，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠DBE＝50°，
∴∠BDE＝ .
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 AB＝CB，∠A＝∠C＝45°， 利用SAS证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=BE，根据等边对等角得∠BDE＝∠BED，再由∠DBE=50°算得∠BDE的度数.
20.【答案】 （1）解：∵BD＝CD＝CE
∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE
∵∠B=30°，∠E＝20°
∴∠DCB=∠B＝30°，∠CDE=∠E＝20°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°，∠ACD=∠E +∠CDE＝40°
∴∠A=180°-∠ADC- ∠ACD= 80°；
（2）解：∵∠B=x，∠E＝y
结合（1）的结论得：∠DCB=∠B＝x，∠CDE=∠E＝y
∴∠ADC=2x，∠ACD＝2y
∴∠A=180°-2（x+y）.
【解析】【分析】（1）结合题意，根据等腰三角形的性质，得∠B＝∠DCB=30°，∠E＝∠CDE＝20°；再结合∠ADC、∠ACD分别是△DBC、△CDE的外角，以及三角形内角和定理，即可计算得到答案；
（2）结合（1）的结论，通过计算即可完成求解.
21.【答案】 （1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）.
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝48°，
∴∠C＝∠EDC＝66°，
∴∠BDE＝∠C＝66°.
【解析】【分析】（1）根据∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，即可得：∠BEO＝∠2，又∠1＝∠2得：∠1＝∠BEO，则可得△AEC≌△BED（ASA）；
（2）通过全等三角形的性质可得：EC＝ED，∠C＝∠EDC＝∠BDE，即可得出答案.
22.【答案】 （1）解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，


∴AB＝5cm，∴△ABC的周长＝12cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝6cm，∴t＝6（秒）
（2）解：当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝6.5（cm），∴t＝6.5（秒），

∴CP＝ AB＝ ×5＝2.5cm
（3）解：△BCP为等腰三角形时，分三种情况：


①如果CP＝CB，那么点P在AC上，CP＝3cm，此时t＝3（秒）；
如果CP＝CB，那么点P在AB上，CP＝3cm，此时t＝5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD＝2.4cm，再利用勾股定理求得DP＝1.8cm，所以BP＝3.6cm，AP＝1.4cm，所以t＝（4+1.4）÷1＝5.4（秒））
②如果BC＝BP，那么点P在AB上，BP＝3cm，CA+AP＝6cm，此时t＝6（秒）；
③如果PB＝PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP＝6.5cm，t＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，进而求出△ABC的周长，于是得出周长的一半长，最后利用速度公式求出时间即可；
（2） 当点P在AB中点时，根据等底同高三角形面积相等，可得CP把△ABC的面积分成相等的两部分， 于是求出CA+AP的长，最后利用速度公式求出时间即可；
（3）分三种情况讨论， ①如果CP＝CB，那么点P在AC上，这时CP=3cm，则用速度公式可求时间t； ②如果BC＝BP=3cm，那么点P在AB上，得出CA+AP＝6cm，则用速度公式可求时间t； ③ 如果PB＝PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，由中位线定理得出点P在AB的中点，此时CA+AP＝6.5cm，再用速度公式可求时间t.

23.【答案】 （1）BD=CE
（2）解：BD=CE
理由：∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠CAE=∠DAB，
在△CAE和△DAB中，，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴BD=CE；
（3）
【解析】【解答】（1）证明：∵∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠CAE=∠DAB，
在△CAE和△DAB中，，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴BD=CE；
（3）解：如图，作等腰直角△CAE，使∠CAE=90°，

由题（1）得BE=CD，
∵EC=AC=2，
∵∠BCA+∠ACE=90°，
∴BE=.
故答案为：.
【分析】（1）根据角的关系推出∠CAE=∠DAB，然后利用边角边定理证明△CAE≌△DAB，则可得出BD=CE；
（2）根据角的关系推出∠CAE=∠DAB，然后利用边角边定理证明△CAE≌△DAB，则可得出BD=CE；
（3）由题（1）得BE=CD，根据等腰直角三角形的性质求出EC的长，根据角的关系求得∠BCE为直角，则根据勾股定理可求BE的长，进而求出CD的长.
24.【答案】 （1）90
（2）解：作DM⊥BA交延长线与点M，作EN⊥AC与点N，
∵∠NAE+∠EAM=90°，∠EAM +∠MAD=90°，
∴∠NAE=∠MAD
又AE=AD, ∠ENA+∠DMA=90°
∴△ADM≌△AEN（AAS），
∴DM=EN
又∵ ，
∴
（3）解：由（2）得， .
又∵ ， ，
∴
∴
∴ .
【解析】【解答】解：（1）当∠EAC=90°时，则∠EAC=∠DAB=90°
又AB=AC，AD=AE，
∴△AEC≌△ADB
故答案为：90；
【分析】（1）根据SAS即可证明△AEC≌△ADB；
（2）根据AAS证明△ADM≌△AEN，得到DM=EN，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由(2)得S内=S外求出 ，得到 ，根据非负性即可求解.