高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试学案

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试学案，共16页。学案主要包含了补偿训练等内容，欢迎下载使用。

求天体的质量和密度的方法
(科学思维——科学推理)
通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、轨道半径r，由万有引力提供向心力得：
G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r，故天体质量M＝ eq \f(4π2r3,GT2) 。
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ eq \f(M,V) ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(3πr3,GT2R3) 。
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝ eq \f(3π,GT2) 。
(3)若天体表面的重力加速度g已知，亦可根据重力近似等于万有引力进行相关计算：G eq \f(Mm,R2) ＝mg。
已知1979年国际大地测量和地球物理联合会公布的关于地球的几组数据如下：
地球的赤道半径ra＝6 378 137 m≈6.378×106 m
极半径rb＝6 356 752 m≈6.357×106 m
忽略地球非球形对称，平均半径r＝6.371×106 m
在赤道某海平面处重力加速度ga＝9.780 m/s2
在北极某海平面处重力加速度gb＝9.832 m/s2
全球通用的重力加速度标准值g＝9.807 m/s2
地球的自转周期为23小时56分4秒(恒星日)，即T＝8.616 4×104 s。
如果把地球看成质量均匀分布的球体，并且忽略其他天体的影响，求地球的质量。(至少用两种方法)
【解析】题目中给出了在赤道、北极及全球通用的重力加速度值及对应的半径，可应用万有引力定律分别列式计算。
在赤道上F万＝mga＋F向，
在北极F万＝mgb，利用平均值F万＝mg。
法一：在赤道上，地球对质量为m的物体的引力等于物体的重力与其随地球自转的向心力之和，则
G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(a)) ) ＝mga＋mra( eq \f(2π,T) )2，
即M＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(a)) ga,G) ＋ eq \f(4π2r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(a)) ,GT2) ，
代入数据得M≈5.985×1024 kg。
法二：在北极，不考虑地球的自转，则 eq \f(GMm,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(b)) ) ＝mgb，
即M＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(b)) gb,G) ，
代入数据得M≈5.957×1024 kg。
法三：把地球看作质量均匀的球体，忽略自转影响，半径取平均值，重力加速度取标准值，则
eq \f(GMm,r2) ＝mg，即M＝ eq \f(r2g,G) ，代入数据得
M≈5.968×1024 kg。
答案：见解析
1．(水平2)天文学家发现了某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期。由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
【解析】选C。由G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r，得M＝ eq \f(4π2,GT2) r3，可求得恒星的质量，故选C。
2．(水平2)地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A． eq \f(3g,4πRG) B． eq \f(3g,4πR2G) C． eq \f(g,RG) D． eq \f(g,RG2)
【解析】选A。忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G eq \f(Mm,R2) ，又地球质量M＝ρV＝ eq \f(4,3) πR3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝ eq \f(3g,4πRG) 。
【补偿训练】
1．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【解析】选D。设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力提供向心力G eq \f(mM,（R＋h）2) ＝m( eq \f(2π,T) )2(R＋h)将h＝200 000 m，T＝127×60 s，G＝6.67×
10－11 N·m2/kg2，R＝1.74×106 m，代入上式解得M＝7.4×1022 kg，可知D正确。
2．地球绕太阳公转的周期与月球绕地球公转的周期之比为p，其轨道半径之比为q，则太阳质量与地球质量之比M日∶M地为( )
A． eq \f(q3,p2) B． eq \f(p2,q3) C． eq \f(p3,q2) D．p3q3
【解析】选A。太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳公转的向心力，则有： eq \f(GM日M地,R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(日地)) ) ＝M地( eq \f(2π,T地) )2R日地，则M日＝ eq \f(4π2R eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(日地)) ,GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ，同理： eq \f(GM地m月,R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(月地)) ) ＝
m月( eq \f(2π,T月) )2R月地，则M地＝ eq \f(4π2R eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(月地)) ,GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(月)) ) ，故M日∶M地＝ eq \f(q3,p2) 。
近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题
(物理观念——运动与相互作用观念)
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A.b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc＞Tb＞Ta
D．在b、c中，b的速度大
【解析】选D。b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G eq \f(Mm,R2) ＝m eq \f(v2,R) ，解得v＝ eq \r(\f(GM,R)) ，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝ eq \f(GM,r2) 得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) 得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，可知b的速度比c的速度大，故D正确。
1．(水平2)2018年7月10日4时58分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火箭，成功发射了第三十二颗北斗导航卫星。该卫星属倾斜地球同步轨道卫星，卫星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。通过百度查询知道，倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图所示，关于该北斗导航卫星说法正确的是( )
A.该卫星可定位在北京的正上空
B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的
C．该卫星的发射速度v≤7.9 km/s
D．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等
【解析】选D。根据题意，该卫星是倾斜轨道，故不可能定位在北京的正上空，选项A错误；由于该卫星的运转周期也是24小时，与地球静止轨道卫星的周期相同，故轨道半径、向心加速度均相同，选项B错误；第一宇宙速度7.9 km/s是最小的发射速度，选项C错误；根据ω＝ eq \f(2π,T) 可知，该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等，选项D正确。
2．(多选)(水平4)如图所示，卫星1为地球同步卫星，卫星2是周期为3 h的极地卫星，只考虑地球引力，不考虑其他作用的影响，卫星1和卫星2均绕地球做匀速圆周运动，两轨道平面相互垂直，运动过程中卫星1和卫星2有时可处于地球赤道上某一点的正上方。下列说法中正确的是( )
A.卫星1和卫星2的向心加速度之比为1∶16
B．卫星1和卫星2的线速度之比为2∶1
C．卫星1和卫星2同处在地球赤道的某一点正上方的周期为24 h
D．卫星1和卫星2同处在地球赤道的某一点正上方的周期为3 h
【解析】选A、C。由万有引力提供向心力有G eq \f(Mm,r2) ＝m( eq \f(2π,T) )2r得出r＝ eq \r(3,\f(GMT2,4π2)) ，卫星1和卫星2的周期之比为8∶1，则轨道半径之比为4∶1，由G eq \f(Mm,r2) ＝ma得出a＝ eq \f(GM,r2) ，可知向心加速度之比为1∶16，A正确；根据G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r) 得出v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，可知线速度之比为1∶2，B错误；两卫星从赤道处某点正上方开始计时，卫星2转8圈时，卫星1刚好转一圈在该点的正上方，C正确，D错误。
【补偿训练】
(多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船(周期约
90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是( )
A．它们运动的线速度大小关系是v乙＜v丙＜v甲
B．它们运动的向心加速度大小关系是a乙＞a丙＞a甲
C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝ eq \f(3π,GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) )
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝ eq \f(4π2r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(乙)) ,GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) )
【解析】选B、D。根据万有引力提供向心力G eq \f(Mm,r2) ＝ma向＝m eq \f(v2,r) ＝m eq \f(4π2,T2) r，则有T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，a向＝ eq \f(GM,r2) ，据题知，同步卫星丙的周期为
24 h，大于乙的周期，则丙的轨道半径大于乙的轨道半径。根据线速度、加速度与轨道半径的关系，知a乙＞a丙，v乙＞v丙，又因为甲与丙的角速度相等，根据v＝rω知v丙＞v甲，根据a＝rω2知a丙＞a甲，所以有a乙＞a丙＞a甲，v乙＞v丙＞v甲，故A错误，B正确；因为甲不是卫星，它的周期与贴近星球表面做匀速圆周运动的周期不同，根据甲的周期无法求出地球的密度，故C错误；对于乙，根据G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ) ＝mr乙( eq \f(2π,T乙) )2，可得M＝ eq \f(4π2r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(乙)) ,GT eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ) ，故D正确。
卫星(航天器)的变轨及对接问题
(科学思维——科学推理)
1.卫星发射及变轨过程概述：
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．对接：
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
3．航天器变轨问题的三点注意事项：
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝ eq \r(\f(GM,r)) 判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
卫星变轨的实质
中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P。当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等
B．卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度
C．卫星在轨道2上时处于超重状态
D．卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度
【解析】选D。卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A项错误；在轨道上运行经过P点的速度应小于近地点Q的速度，万有引力做正功使动能增加，B项错误；卫星在轨道上应处于失重状态，C项错误；由万有引力提供向心力可知：G eq \f(Mm,r2) ＝ma，a＝ eq \f(GM,r2) ，在同一点P加速度相等，D项正确。
1.(水平2)我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A．飞行器在B点处点火后，动能增加
B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度
D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π eq \r(\f(R,g0))
【解析】选D。在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则mg0＝mR eq \f(4π2,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ) ，解得T3＝2π eq \r(\f(R,g0)) ，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律 eq \f(r3,T2) ＝k以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故B错误、D正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。
2.(水平4)长征三号乙遥二十八火箭发射中星9A卫星过程中运载火箭出现异常，未能将卫星送入预定轨道。中国航天科技集团公司在西安卫星测控中心的密切配合下，通过准确实施10次轨道调整，卫星于2017年7月5日成功定点于东经101.4°赤道上空的预定轨道。如图是卫星变轨前后的两个轨道，对于此次变轨前后卫星的运动，下列说法正确的是( )
A．从近地点到远地点，卫星受到的万有引力变大
B．变轨后，卫星的运行周期变小
C．在近地点，卫星要点火加速才能到达更高轨道
D．变轨后，卫星可能处于地球同步卫星轨道
【解析】选C。从近地点到远地点，卫星受到的万有引力减小，选项A错误；变轨后，卫星的运行周期变大，选项B错误；在近地点，卫星要点火加速才能到达更高轨道，选项C正确；变轨后，卫星处于椭圆轨道，不可能处于地球同步卫星轨道，选项D错误。
【补偿训练】
1．(多选)荷兰某研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【解析】选A、C、D。根据开普勒第三定律可和，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ，选项A正确；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，选项B错误，C正确；根据G eq \f(Mm,R2) ＝mω2R以及M＝ eq \f(4,3) πR3ρ，解得ρ＝ eq \f(3ω2,4πG) ，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确。
2．我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【解析】选C。若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G eq \f(Mm,r2) m eq \f(v2,r)
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动