粤教版 (2019)选择性必修 第一册第一节 简谐运动第1课时导学案及答案

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第1课时 认识简谐运动
[学习目标] 1.了解什么是机械振动，认识弹簧振子这一物理模型.2.理解回复力的概念，掌握回复力公式，知道回复力在机械振动中的特征.3.理解简谐运动的概念和特点，知道简谐运动的图像是一条正弦曲线，并能用简谐运动图像分析振子的位移和速度的变化．
一、认识简谐运动
1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动叫作机械振动，简称振动．
2．弹簧振子：小球和弹簧组成的系统．
条件：(1)小球和水平杆之间的摩擦可以忽略不计；
(2)小球可以看作质点．
3．简谐振动的回复力
(1)回复力
①定义：使振子能返回平衡位置的力．
②方向：总是指向平衡位置，跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．
③表达式：F＝－kx，其中x表示振子偏离平衡位置的位移，“－”表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．
(2)简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动叫作简谐振动．
二、简谐运动的图像
1．全振动：如图1所示，点O为振子的平衡位置，先将振子由平衡位置O拉到点B，从释放振子开始计时，振子开始振动．振子经历B→O→B′→O→B路径的一个完整振动过程叫作一次全振动．
图1
2．弹簧振子的位移－时间图像，如图2所示．
图2
3．简谐运动：振子的位移－时间函数为正弦或者余弦函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动．
三、描述简谐运动的物理量
1．振幅：物体振动时离开平衡位置的最大距离．
2．周期：物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示．
3．频率：物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比，用f表示．
4．周期和频率的关系为f＝eq \f(1,T).
1．判断下列说法的正误．
(1)小鸟飞走后树枝的往复运动不是机械振动．( × )
(2)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．( √ )
(3)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．( × )
(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．( × )
(5)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．( × )
2．弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，振子从A到B运动的时间是2 s，如图3所示，则弹簧振子的振幅A＝________ cm，弹簧振子的振动周期为________ s，频率f＝________ Hz.
图3
答案 10 4 0.25
一、弹簧振子
导学探究
如图4所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．
图4
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在水平杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案 (1)小球的运动具有往复性．小球因为受到阻力的作用最终停止运动．
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长．
(3)小球将持续地做往复运动．
知识深化
振动系统看成弹簧振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子．
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点．
(3)摩擦力可以忽略．
(4)小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧的弹性限度内．
二、简谐运动的回复力
导学探究
如图5所示为水平方向的弹簧振子模型．
图5
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案 (1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置．
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反．
知识深化
1．平衡位置是回复力为零的位置．
2．回复力的方向总是指向平衡位置．
3．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图6甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由m所受的静摩擦力提供．
图6
4．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．
命题角度1 简谐运动的回复力特点
(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零
答案 ABD
解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，故D正确．
(2020·沈阳市铁路实验中学高二下期中)如图7所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图7
A．物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力
答案 A
解析 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力大小和方向都随时间变化，故A正确．
命题角度2 简谐运动的位移及速度判断
1．位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置．当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小．
2．速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零．振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；反之，速度增大．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－eq \f(k,m)x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
(多选)如图8所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
图8
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
答案 AD
解析 振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，受到的力为正值，振子的加速度为正值，故A正确；当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误；振子每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，故C错误；振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但速度方向可能相同，也可能不同，故D正确．
三、简谐运动及其图像
1．简谐运动：简谐运动的位移随时间按正弦函数的规律变化，所以不是匀变速运动，而是在变力作用下的非匀变速运动．
2．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
3．简谐运动的x－t图像
x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间变化的规律．
注意 x－t图像不是振子的运动轨迹．
4．对全振动的理解
(1)经过一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2)经过一次全振动，振子历时一个周期．
(3)经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍．
5．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅．
6．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
如图9所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
图9
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
答案 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm
解析 (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝eq \f(T,2)，所以T＝0.2 s.
由f＝eq \f(1,T)得f＝5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
(2020·长春外国语学校期中)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图10所示，由图可知( )
图10
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
答案 C
解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即eq \f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为eq \f(3,4)T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误．
1．(弹簧振子运动分析)如图11所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置．关于小球的运动情况，下列描述正确的是( )
图11
A．小球经过O点时速度为零
B．小球经过M点与N点时有相同的加速度
C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
答案 D
解析 小球经过O点时速度最大，A错误；小球在M点与在N点的加速度大小相等，方向相反，B错误；小球从M点向O点运动过程中，加速度减小，速度增大，C错误；小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小，D正确．
2.(简谐运动的回复力)(多选)如图12所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是( )
图12
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
答案 AD
解析 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
3.(描述简谐运动的物理量)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由B运动到A的时间是2 s，如图13所示，则( )
图13
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是20 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
答案 C
解析 振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从B→A振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10 cm，B错误；t＝6 s＝1eq \f(1,2)T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在位置A或B，D错误．
4．(简谐运动的位移)(多选)如图14所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．开始时钢球静止，现用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图14
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球原来静止时的位置为平衡位置
C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置，故A错误，B正确；钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，可知C正确，D错误．
考点一 弹簧振子及简谐振动的回复力、位移、速度
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速运动
D．简谐运动是非匀变速运动
答案 AD
解析 弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动，A正确，B错误；简谐运动的加速度时刻变化，故C错误，D正确．
2.(多选)(2020·西安市期末)在图1中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是( )
图1
A．振子的位移变小
B．振子的运动方向向左
C．振子的位移方向向左
D．振子的位移变大
答案 AB
解析 在振动中位移的参考点是O点，由于振子在O点的右侧由A向O 运动，所以振子的运动方向向左，位移方向向右，且位移变小，故A、B正确．
3．如图2所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间振动，关于振子，下列说法正确的是( )
图2
A．在a点时加速度最大，速度最大
B．在O点时速度最大，位移最大
C．在b点时位移最大，速度最小
D．在b点时加速度最大，速度最大
答案 C
解析 O点为弹簧振子的平衡位置，振子在O点时加速度为零，位移为零，速度最大，故B错误；振子在a、b两点时，位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确．
4．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( )
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
答案 B
解析 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误．
5．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
答案 C
解析 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．
考点二 简谐运动的图像及描述简谐运动的物理量
6．如图3所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴．向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为( )
图3
答案 A
解析 开始计时时振子位于正向最大位移处向负方向做简谐运动，振动图像为余弦函数图像，A项对．
7．(多选)如图4是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )
图4
A．振动周期是2×10－2 s
B．物体振动的频率为25 Hz
C．物体振动的振幅为10 cm
D．在6×10－2 s内物体通过的路程是60 cm
答案 BCD
解析 由题图知周期是4×10－2 s，A项错误；又f＝eq \f(1,T)，所以f＝25 Hz，B项正确；由题图知物体振动的振幅A＝10 cm，C项正确；t＝6×10－2 s＝1eq \f(1,2)T，所以物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，D项正确．
8．(多选)(2020·苏州高二下期中)如图5所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
图5
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
答案 CD
解析 由题意可知T＝eq \f(60,30) s＝2 s，A＝eq \f(8,2) cm＝4 cm，A错误；频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2) Hz＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s＝eq \f(t,T)×4A＝eq \f(3,2)×4×4 cm＝24 cm，D正确．
9．(多选)如图6所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列说法正确的是( )
图6
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
答案 AD
解析 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB＝A，故A、D正确．
10.(多选)如图7所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
图7
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则A、B间无相对滑动的最大振幅为eq \f(μM＋mg,k)
答案 ACD
解析 物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝eq \f(μM＋mg,k)，故D正确．