北师大版必修13函数的单调性教案

这是一份北师大版必修13函数的单调性教案，共8页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重，教学分析，学法分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识。在高中阶段，用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维，为后续函数的学习做准备，也为利用倒数研究单调性的相关知识奠定了基础。
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调递增表现为“随着x增大，y也增大”这一不变的特征。函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强数与形的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步加以解析研究，数学刻画．
二、教学目标
知识与技能
1.理解函数的单调性和单调函数的意义
2.掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法
过程与方法
由感性认识、观察，到理性分析归纳，得出函数单调性的概念。
情感、态度与价值观
由直观的函数图像让学生用自然语言描述函数单调性，产生成就感，突出学生的主管能动性，从而激发学生的求知欲和学习数学的兴趣。
三、教学重、难点
重点：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性
难点：
1.函数单调性概念的认知。
（1）自然语言到符号语言的转化；
（2）常量到变量的转化。
2.应用定义证明单调性的代数推理论证。
（1）变形方向；
（2）变形能力。
四、教学分析
本节是概念课，应注重概念的生成，彰显过程教学，充分体现概念的形成过程．对增（减）函数的概念，不是直接抛出，而是先创设直观情境，然后围绕二次函数提出问题，以问题为核心构建课堂教学.
五、学法分析
一方面让学生自主探究，另一方面，教师指导学生读图，从图中获得信息以形成概念，再通过典型例题与探究题，深化对概念的理解与应用。
借助多媒体动态地展示图像的上升与下降过程，利用图形的直观性启迪学生的思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从问题中发现、归纳、总结，最终运用概念．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．同时，潜移默化地渗透各种数学思想方法．
六、教学过程设计
（一）课题引入
在研究函数的过程中，我们最关心的是：当自变量变化时函数值随着自变量的变化如何变化。这就好比：我们往前赶路，随着脚步的移动（位置的变化）我们走的是上坡路还是下坡路（高度）。
下面请同学们做出下列函数的图像。
(1) y=x (2) y=-x
(3) y=|x| (4) y=x2
设计意图：引出本节的核心问题并以打比方的形式增加数学学习的生动性和趣味性。也能引导学生在大脑中有一个动态形象。引导学生感受研究函数单调性的必要性。前面已经学习过函数的概念、函数的表示法，紧接着对函数要研究些什么？引导学生认识到，应该认识函数的各种特征。
观察下图中各个函数的图像，同学们试着说说它们的增减趋势。
设计意图：还可以引导学生观察比较多的函数的图像，从直观感受上认识函数的单调性，并进行一些归类．说说你为什么把这些函数归为一类。比如都函数图像上升的归成一类，更好地体现“事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质”。
（二）新知探求
问题1:列表描点，画函数f（x）＝x2的图像。
设计意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。
问题2:利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。
从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：
图像在y轴左侧“下降”，也就是，在区间上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图像在y轴右侧“上升”，也就是，在区间上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。
设计意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。
问题3:当x从小到大变化时，y的值如何变化？
设计意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。
问题4:比较下列各数的大小。
22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。
就x在（0，+∞）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到
22＜32＜42＜（4.5）2＜（5.1）2＜（6.3）2。
显然有：当0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6时，
有0＜x＜x＜x＜x＜x＜x时，
即0＜y1＜y2＜y3＜y4＜y5＜y6。
设计意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。
问题5:对于函数一个函数f（x），如果－1＜2时，有f（－1）＜f（2），能否说函数f（x）在区间（－1，2）上递增呢？
问题6:函数f（x），对于（0，∞）上的两个自变量的值x1，x2，当0＜x1＜x2时，有0＜y1＜y2，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。
问题7:函数f（x），对于（0，∞）上的三个自变量的值x1，x2，x3，当0＜x1＜x2＜x3时，有0＜y1＜y2＜y3，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。
问题8:函数f（x），对于（0，∞）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，…，当0＜x1＜x2＜x3＜…时，有0＜y1＜y2＜y3＜…，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。
设计意图：这四个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6、问题7、问题8引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。
问题9:你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（－∞，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＜y2。
设计意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）＝x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。
问题10:你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＞y2。
设计意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。可能举出的例子是f（x）＝。也有可能学生举出的例子是f（x）＝－x，等。
（三）构建概念
1.先对具体函数下单调性的定义
函数f（x）＝x2，对于x∈（0，∞）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是增加的。对于x∈（－∞，0）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是减少的。
设计意图：由具体再推广到一般情况，便于学生接受和进一步理解。
2．函数在区间[a，b]上单调性的定义
问题：函数f（x）在区间[a，b]上是增函数如何刻画？递减呢？
设计意图：培养学生用数学语言表述函数性质，进一步，以此作为函数单调性的定义。
3．单调性概念的形成
（1）单调递增
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时候也称y＝f(x)在区间A上是递增的。
（2）单调递减
在函数y= f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称y＝f(x)在区间A上是减少的，有时候也称y＝f(x)在区间A上是递减的。
（3）单调区间
若函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间上具有单调性，区间A称为y＝f(x)的单调区间．
（4）单调函数
如果对于整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。
（四）概念的应用
例1：说出气温图中的单调区间，以及在每个单调区间上，它是增函数还是减函数．
设计意图：概念的应用有助于对概念的理解，有助于进一步把握概念的本质．通过一些具体的函数单调性的证明或者函数单调区间的划分可以进一步认识函数的单调性概念．
例2 说出函数f（x）＝1/x 的单调区间，并指明在该区间上单调性。
解：（－∞，0）和 （0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数f（x）＝1/x 是减少的。
例3：画出函数 f（x）＝3x +2的图像，判断它的单调性，并加以证明。
解：作出f（x）＝3x+2的图像。又图看出函数f（x）的图像在R上是上升的，函数f（x）是R上的增函数。
在证明单调性的环节上引导学生掌握处理问题的步骤，形成处理问题程序化的思想。逐步得到证明函数单调性的方法步骤：取值—作差—变形—判断。
（教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明。之后再总结证明该问题的步骤。）
（五）本节小结
（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学到了什么？
（2）如何根据图像指出函数的单调区间？
（3）怎样用定义证明函数的单调性？
设计反思：
问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。
教学中，教师要找出建立概念的关键之处，明确学生建立这个概念到底难在哪里．其次是采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法。注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动。把重心放在具体函数单调性证明的训练上，放在作差后如何证明f（x2）－f（x1）＞0的技巧训练上。
概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流。
问题链的设计是具有一定挑战性的问题，需要学生做出认真思考。逐步得出在区间[a，b]上怎样取值，使得“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”成立，就能够得到函数在区间[a，b]上，随着x的增大，对应函数值y也增大呢？
只有在区间[a，b]上任意取值x1，x2时，“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”就可以得到函数单调性的特征。从而产生函数单调性的定义。
问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
f（x）＝x2
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…