数学选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案

这是一份数学选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案，共12页。



5.1　数列基础
5.1.1　数列的概念
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解数列的概念及其表示方法．(重点)
2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点)
4．了解数列与函数的关系．(难点)
1．通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养．
3．通过数列与函数关系的学习，提高直观想象、数学运算等核心素养．


“微信朋友圈”中的数学
在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，……”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：
1，10，100，1 000，10 000，…
[提示]　可以．
知识点1　数列的概念及一般形式

1．数列1，2，3与数列2，1，3相同吗？
[提示]　不同，顺序不一样．
数列与集合的区别
数列
集合
各项必须是数
集合中的元素可以是数，也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列
集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2}
同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，…
集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1，7，0，11，－3，…，－1 000不构成数列． (　　)
(2){an}与an是一样的，都表示数列． (　　)
(3)数列1，2，3，4可表示为{1，2，3，4}． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　数列的分类

类别
含义
按项的个数　
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①1，1，1，1是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列．
①②　[因为1，1，1，1只有4项，所以①正确；②正确；数列1，2，3，4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．]
知识点3　数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
2．数列一定有通项公式吗？
[提示]　不一定．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．
(1)已知通项公式an＝f(n)，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的n就可以求出数列的各项．
(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的．例如，数列0，2，0，2，…的通项公式可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋1．
3．(1)(对接教材P7练习AT2)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)数列0，1，2，3，4，…的一个通项公式可以为(　　)
A．an＝n－1 B．an＝n
C．an＝n＋1 D．an＝n2－1
(1)B　(2)A　[(1)∵an＝，∴a5＝＝，故选B．
(2)结合选项可知，an＝n－1，故选A．]
知识点4　数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
3．数列所对应的图像是连续的吗？
[提示]　不连续．
拓展：(1)解读数列的通项公式
①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4．根据数列的通项公式，分别用列表法和图像法表示下列数列(n≤5且n∈N＋)．
(1)an＝(－1)n＋2；(2)bn＝．
[解]　用列表法分别给出这两个数列．
n
1
2
3
4
5
an＝(－1)n＋2
1
3
1
3
1
bn＝
2




它们的图像如图(1)(2)．

(1)　　　　　　　(2)

类型1　数列的概念及分类
【例1】　已知下列数列：
①2 015，2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他形式．
2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．

[跟进训练]
1．给出下列数列：
①2014～2021年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，119，129，130，132，135；
②无穷多个构成数列， ， ， ，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
①　②③　①　②　③　[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
类型2　由数列的前几项求通项公式
【例2】　(对接教材P5例2)写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，…．
[思路点拨]　先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
[解]　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(2)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N＋)．

1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

[跟进训练]
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1，11，111，1 111，…．
[解]　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1．所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
类型3　数列通项公式的应用

1．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．

2．若数列{an}满足an＋1－an>0，∀n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增数列吗？
[提示]　是．因为an＋1－an>0，故an＋1>an，所以数列{an}是递增数列．

【例3】　已知函数f(x)＝x－．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
[思路点拨]　先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
[解]　(1)∵f(x)＝x－，f(an)＝－2n，
∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±，
∵an>0，∴an＝－n．
(2)法一：(作差法)
∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)
＝－－1
＝－1
＝－1，
又>n＋1，>n，
∴<1．
∴an＋1－an<0，即an＋1 法二：(作商法)
∵an>0，∴＝
＝<1．
∴an＋1
判断数列单调性的方法
①作差法：比较an＋1－an与0的大小．
若an＋1－an>0对于任意的n∈N＋恒成立，则数列{an}是递增数列；
若an＋1－an<0对于任意的n∈N＋恒成立，则数列{an}是递减数列；
若an＋1－an＝0对于任意的n∈N＋恒成立，则数列{an}是常数列.
②作商法：比较(一定要确定an的符号且an≠0)与1的大小.,对于任意的n∈N＋，若an>0，则当>1时，数列{an}是递增数列；当<1时，数列{an}是递减数列；当＝1时，数列{an}是常数列.
对于任意的n∈N＋，若an<0，则当<1时，数列{an}是递增数列；当>1时，数列{an}是递减数列；当＝1时，数列{an}是常数列.
③利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调，如an＝3－2n，由一次函数y＝3－2x是减函数知，数列{an}是递减数列.但要注意，函数不单调时，相应的数列仍可能单调，如an＝2n2－5n，函数y＝2x2－5x在[1，＋∞)上不单调，而数列{an}是递增数列.

[跟进训练]
3．已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5．
(1)写出数列的前3项；
(2)判断数列{an}的增减性．
[解]　(1)数列的前3项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10．
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3．
∵n∈N＋，
∴2n＋3>0，∴an＋1>an．
∴数列{an}是递增数列．

1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1，0，1，0　　 B．0，1，0，1
C．，0，，0 D．2，0，2，0
A　[当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0．]
2．数列－，，－，，…的通项公式可能是an＝(　　)
A．　 B．
C． D．
D　[因为数列－，，－，，…可以写成：
－＝，＝，－＝，＝…，
所以其通项公式为an＝，故选D．]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则满足an＋1 A．11　　　B．12　　　C．13　　　D．14
B　[当n≤12时，25－2n>0，数列单调递增；当n≥13时，25－2n<0，数列单调递增．
则满足an＋1 4．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
3　[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3．]
5．观察数列1，3，6，10，x，21，28，…的特点，则x的值为________．
15　[结合数字特征可知
3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，28－21＝7，∴x－10＝5，21－x＝6，∴x＝15．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．{an}与an有何区别？
[提示]　{an}与an是含义不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是什么？
[提示]　由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．